Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хакен Х. -> "Квантовополевая теория твердого тела" -> 104

Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.

Хакен Х. Квантовополевая теория твердого тела — М.: Наука, 1980. — 344 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayateoriyatverdogotela1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 98 99 100 101 102 103 < 104 > 105 106 107 108 109 110 .. 118 >> Следующая

перестановочных соотношений, к выражению
У Uw|" 11 __./(^w-TT+^T)lx
k.k'.w 8k'+\v 8k' "w
a,o'
f Ok+w,o ak',o' ak,a akM- w, o'5 Ч +
^wl2 ;------_ "1 _7Г" [ek+w.oflk+w.o. Щ (41.16)
k,o,w 8k+w
(посколгжу электронные операторы теперь обозначаются не только индексом
к, но и, сверх того, индексом о, перестановочные соотношения, которые у
нас были ранее, следует обобщить так, чтобы справа вместо 6kk' теперь
стояло произведение символов Кронекера Skk'Soa'-
Видно, что вторая сумма в (41.16) содержит только два электронных
оператора, а не четыре. Несколько ниже мы увидим совершенно отчетливо,
что эта вторая сумма описывает сдвиг энергии огдельпого электрона. Теперь
преобразуем первую сумму, для чего рассмотрим выражение
ak+w,a ак',ст' gk,g ^k'+w.o'
8k'+w-8k'-"W
В первой сумме в (41.16) и в числителе (41.17) поменяем местами к, о с
к', о' (но только в числителе, а не в знаменателе, поскольку соотношение
(41.13а) считается справедливым). Тогда вместо
(41.17) получим выражение
"кЧ-чг_,о' ак,а як',а' йк+"-,а_ jgj
Теперь предпримем следующие замены: к -у к - w I ~+ ~+
к'-у к' - w 1 ak+7'<T"-+^a'-"k'a , (41.19)
w -*¦ -
et' 8k'+w w-w
304
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
[ГЛ. VII
с помощью которых выражение (41.18) переходит в выражение
(41.19). Поскольку эти замены относятся ко всей сумме в (41.16), то
значение этой суммы, естественно, остается неизменным. Далее примем, что
для колебаний решетки, как обычно, выполняется соотношение
согласно которому частота зависит только от абсолютной величины фоноиного
волнового вектора. Равным образом примем, что то же самое справедливо и
для констант взаимодействия
Тем самым выражение (41.19) после изменения порядка следования
электронных операторов переходит в выражение
Выражение (41.22), если выполнить в нем согласно (41.16) суммирование,
совпадает с соответствующей суммой членов (41.17). Теперь приведем
выражение для взаимодействия (41.17), как это тотчас будет видно, к
симметричному виду. Для этого возьмем полусумму выражений (41.17),
(41.22) и подставим ее затем в
(41.16). Это приводит к следующему результату:
В последней сумме (41.23) k + w заменено на к. Уравнение
(41.23) имеет фундаментальное значение. А именно, оно показывает, что
временная производная электронного оператора А порождается перестановкой
того же самого оператора с другим оператором. В последующем изложении
можно было бы исходить нз уравнения (41.23) и построить средние значения.
Этот путь приводит, как мы уже видели в §§ 38, 39, непосредственно к
методу функций Грина. Однако мы воспользуемся несколько более
общепринятым методом, а именно, будем держать курс на эффективное
уравнение Шредингера. Для этого в качестве первого шага откажемся от
представления взаимодействия, т. е. согласно формулам (41.6) и (41.7)
перейдем от операторов а к операторам а.
(О-п- - cow,
(41.20)
lg-wl2 = Igwl2.
(41.21)
(41.22)
k,k',
ОСНОВНОЕ СОСТОЯНИЕ СВЕРХПРОВОДНИКА
305
Тогда (41.23) можно представить в следующем общем виде:
A = j-[H0, A} + j-[HT, А]. (41.24)
Сравнение (41.24) с (41.23) показывает, что эффективное взаимо-действие
дается оператором
"*¦-" 2 U.IV-Ьт-г-х
k.k'w \44w 'k'j ш\\-
а о'
X Як4^,оак',а'Щ;Ч"ма'йк,о +
!¦ ¦ " 2 <¦""" Л21 ""¦ Г' т-ТГ-г^-]- 01-25)
к.а ( тт к -w <v j
Вторая сумма в (41.25) имеет точпо тот же вид, что п собственная энергия
электронов в решетке. Следовательно, она ведет к смещению энергии,
которое можно сразу учесть с помощью метода эффективной массы в еполн, к
• В последующем, таким образом, будем считать, что этот эффект уже учтен
в энергии электрона. Первая сумма в (41.25) содержит основной результат.
В этой сумме присутствуют четыре электронных оператора, которые описывают
уничтожение двух электронов и последующее рождение двух других
электронов. Если кратко обозначить стоящий в этом выражении числовой
множитель через - (1/2) то электрон-
электронное взаимодействие принимает окончательно следующий вид:
' л-эл ~ 2 S T7k,k'(4ak+w,oak',a'<Tk'! tv j'tfk.CTi (41.26)
k.k'.w a,a'
где v k,k',w имеет следующий явный вид:
¦V"',. - , 2|гт|ад"" ¦ (".27)
<-(8k'+w-8k')
Тем самым мы выполнили нашу задачу. Нам удалось ввести мгновенное
взаимодействие между электронами, исходя из их индивидуального
взаимодействия с колебаниями решетки.
§ 42. Основное состояние сверхпроводника по теории Бардина - Купера -
Шриффера (БКШ)
Взаимодействие электронов с колебаниями решетки приводит, как было
показано в §§ 36 и 41, к прямому взаимодействию между электронами.
Соответствующей оператор взаимодействия был введен в явном виде в § 41.
Если добавить теперь к нему опера-
20 х, Хакея
306
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
[ГЛ. VII
тор энергии свободных электронов, то получится полный оператор Г
амильтона
То, что взаимодействие между двумя электронами через посредство решетки,
вообще говоря, имеет характер притяжения, было показано еще в § 36.
Однако непосредственно из оператора Гамильтона (42.1) этого не видно. Как
показал Купер, выражение
Предыдущая << 1 .. 98 99 100 101 102 103 < 104 > 105 106 107 108 109 110 .. 118 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed