Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хакен Х. -> "Квантовополевая теория твердого тела" -> 113

Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.

Хакен Х. Квантовополевая теория твердого тела — М.: Наука, 1980. — 344 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayateoriyatverdogotela1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 107 108 109 110 111 112 < 113 > 114 115 116 117 .. 118 >> Следующая

электронов, и осциллятором поля излучения. Уравнение Шредингера,
соответствующее (45.17), можно решить точно.
Ниже мы рассмотрим, чтобы не иметь дела со слишком сложной ситуацией,
приближенное решение. Как видно из оператора взаимодействия (45.17),
здесь возникают различные процессы взаимодействия; среди них процесс, при
котором одновременно рождаются квант света и один экситон Френкеля или
оба одновременно уничтожаются. Согласно закону сохранения энергии такой
процесс невозможен. В силу этого соответствующими членами мы пренебрежем,
хотя в более высоких порядках приближения они, вообще говоря, дают
вклады. Поэтому мы рассмотрим несколько упрощенную модель, которая,
однако, весьма хорошо согласуется с действительностью. Итак, вместо
(45.17) мы рассмотрим оператор Гамильтона
Поскольку сумма (45.18) представляет собой сумму по отдельным операторам
Гамильтона, которые описывают независящие друг от друга системы, то
достаточно показать, как следует решить уравнение Шредингера,
соответствующее одному оператору
(45.19). При этом ради простоты в дальнейшем изложении мы опустим индекс
к. Этот пример показывает нам, как рассматриваются проблемы,
гамильтонианы которых содержат билинейные комбинации бозе-операторов.
(Здесь речь идет о квантовомеханическом рассмотрении связанных маятников,
так что упомянутая в начале этого параграфа аналогия действительно очень
тесная.)
Теперь введем новые операторы Рi и Рг так, чтобы оператор Гамильтона
принял вид
| я = 2як,
(45.18)
где члены суммы по к имеют вид
| Як = Й (вкВ?Вк "Г "Г Db^Bk -|- О&к/?к).
(45.19)
Як = Ш1Р^Р1 + Ш2Р^Р2.
Для этого положим
В = ииР\ + Щ2Р2, b = U2)Pl + U22P2, или, в матричных обозначениях,
(45.20)
(45.21)
(45.22)
22 X. Хакен
330
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ПОЛЕМ ИЗЛУЧЕНИЯ [ГЛ. VIII
где, естественно,
U .
U21 U22
Гамильтониан (45.19) также перепишем в матричном виде
//* (/!¦¦ Ь+)(А)( f), (45.23)
где А - квадратная матрица. Если выполнить операции умноже-ния в (45.23),
то получим
(Я+, b+) BBVa^ ¦¦= ЯцД+Д + "1 -2В+Ъ + а^Ъ+В + а220+6.
(45.24)
Сравнение (45.24) и (45.19) дает коэффициенты матрицы (А)
яп = е, Я22 - со, ai2 = ci2i=D. (45.25)
Если подставить (45.22) в (45.23), то вместо старых операторов В и b
появятся новые операторы Р\ и Г*2- Чтобы привести оператор Гамильтона к
виду (45.20), потребуем, чтобы матрица
U-'AU (45.26)
была диагональной, что, как известно, тождественно проблеме отыскания
собственных зпачений
(Q, 0 \
AU-UA, A = [01fiJ. (45.27)
Если вместо А и U подставить матричные элементы, то уравнения примут
следующий явный вид:
(е - QpBij + Du2j = 0,
Du\j + (со - Qj)u2j - 0, / = 1, 2. (45.28)
Нас интересуют в конечном счете собственные значения Q,. Онп имеют вид
| Й1.2 = ± -J- / (со - е)2 + 4D\ (45.29)
С помощью этих собственных значений оператор Гамильтона можно представить
в желаемом виде (45.20). Добавим всюду, где это необходимо, индекс к.
Тогда Н (45.18) окончательно принимает следующий вид:
I Н = % 2 (Qi,k^kPlk + (45.30)
1 k
Операторы Plk и P2k при этом соответствуют классическим нор-
ПОЛЯРИТОНЫ
331
мальным координатам. Отсюда ясно видно, что два связанных колебания
порождают новую форму колебания.
Как можно показать, преобразование U можно выбрать так, что оно будет
унитарным. Тогда, пользуясь унитарностью преобразования U, можно
показать, что операторы Р удовлетворяют обычным бозевским перестановочным
соотношениям. (См. к этому § 16.)
Новые и старые собственные значения представлены на рис. 4. Как можно
видеть, дисперсионные кривые для экситонов и света в точке пересечения
расщепляются и возникают две новые дисперсионные кривые. Элементарные
возбуждения, которые описываются этими дисперсионными кривыми, называются
поляри-тонами. Существование поляритонов было доказано экспериментально.
Согласно этим дисперсионным кривым, поляритоны могут распространяться в
кристалле с совершенно различными по величине скоростями. Из-за тесной
связи поляритонов с электромагнитным полем в кристалле возникают
дисперсионные эффекты нового типа.
Мы рассматривали в этом параграфе взаимодействие света с экситонами
Френкеля только ради простоты. Наше рассмотрение без труда можно
перенести, например, на случай экситонов Ваннье.
22*
ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ ДАЛЬНЕЙШЕГО ЧТЕНИЯ
К § 2
Volz II. Einfuhrung in die Theoretische Mechanik, II. Lagrange-
LIamiltonsche Mechanik und Ansatzpunkte der Quantentheorie.-
Frankfurt/M.: 1972. *) Ландау Л. Д., Лифшиц E. М. Механика.- М.:
Физматгиз, 1965.
*) Лич Дж. У. Классическая механика,- М.: ИЛ, 1961.
К главе II
Влохинцев Д. II. Основы квантовой механики, 5-е изд.- М.: Высшая школа,
1976.
During W. Einfiihrung in die Quantenmechanik, 3. Aufl.- Gottingen: 1962.
Давыдов А. С. Квантовая механика.- М.: Наука, 1973. luck Е. Einfiihrung
in die Grundlagen der Quantenmechanik.- Frankfurt/M.:
1968.
Franz W. Quantentheorie.- Berlin - Heidelberg - New York: 1971.
Mitter H. Quantentheorie.- Mannheim: 1969.
Siissmann G. Einfiihrung in die Quantenmechanik, I.- Mannheim: 1963.
Предыдущая << 1 .. 107 108 109 110 111 112 < 113 > 114 115 116 117 .. 118 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed