Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
электроном и излучением. Рассмотрим Иэп-св более подробно и разложим его
на две части.
Первая часть содержит только операторы уничтожения квантов ноля излучения
и поэтому представляет поглощение излучения
77ал-ев,погл (45.4)
1,1',ц,М-',к
Вторая часть содержит только операторы рождения
7/эл-св,иеп - % 2 яГяя1',ц'^к^П,м,1',ц',к (45.5)
1,1',р,,и'.к
и, тем самым, представляет процессы испускания квантов света. Суммы в
(45.4) и (45.5) распространяются на все точки локализации электронов 1 и
Г, а также на все возможные значения индексов р. и р/, которые отличают
валентную зону от зоны проводимости. Наконец следует просуммировать по
всем векторам к ноля излучения. При этом для простоты мы примем, что к
параллелей оси х и что имеется лишь одно направление поляризации.
Матричные элементы G в (45.4) и (45.5) имеют вид
= const J"v(x - 1) ete,kx j y"v (x - Г)d3x, (45.6)
причем константа в (45.6) совпадает с константой в (44.22). Мы не вводим
ее здесь, поскольку ее явный вид в последующем изложении нам не
понадобится. Посмотрим, как упрощается G в нашей конкретной модели.
Предположим, что между атомными волновыми функциями в различных узлах пет
перекрытия. Тогда от пуля отличны только такие матричные элементы G, для
которых Г = 1. Далее, волновой вектор излучения к по величине значительно
меньше постоянной решетки. Тогда eikx внутри элементарной ячейки можно
считать константой, что позволяет в показателе экспоненты заменить х па 1
и вынести eikl за знак интеграла:
G ~ e,klet J - у(х - 1) d3x. (45.7)
Введем, наконец, следующее правило отбора для атомных волновых функций:
переходы могут происходить только между основным и возбужденным
состояниями, но не между одинаковы-
ПОЛЯРТП'ОНЫ
32?
мп состояниями (см. также стр. 192-193): (X = F, |х'= L,
(45.8)
p = L, |x' = F.j
Поэтому ниже нам следует учесть только матричные элементы вида
где рг, /-матричный элемент оператора и.мпульса между основным
состоянием, имеющим s-характер, и возбужденным состоянием, которое имеет
р-характер. Учитывая ориентацию атомных волновых функций и поляризацию
электрического поля, находим, что от нуля отличен только такой множитель
G, для которого соответствующие волновые функции ориентированы вдоль оси
у:
еьрт, l = ру. (45.10)
Следствием этого, как мы еще увидим, является то, что поперечное поле
излучения вступает во взаимодействие только с поперечными эксигопами
Френкеля. Поэтому G можно записать в следующем виде:
причем мы учли, что от нуля отличны только совершенно определенные
коэффициенты G. Величина N в множителе 1/1/N является полным числом
атомов в решетке; оно понадобится нам сейчас.
С хорошей точностью можно принять, что константа D в (45.11) практически
не зависит от к. Совершенно аналогичным образом найдем для G' следующее
выражение:
Ради простоты здесь и ниже мы примем, что константа D действительна.
(Этого всегда можно добиться соответствующим выбором атомных волновых
функций.) После этих приготовлений мы в состоянии представить оператор
Гамильтона (45.4) и (45.5) в существенно более простом виде. Например,
вместо (45.4) мь|
G ~ e'tiekPr.t,
(45.9)
(45.11)
(45.12)
328
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ПОЛЕМ ИЗЛУЧЕНИЯ [ГЛ. VIII
получаем
Яэл-св, погл = Й Йк Я
У#'
вк
Й 2 ^ 2 4v"i,v,^ikl г4= ?"• (45.13) к 1 V Я
В (45.13) стоит сумма по 1, которая уже встречалась пам при рассмотрении
экситонов Френкеля. Вспомним теперь, что вместо оператора уничтожения йцу
мы ввели оператор электронной дырки dt и тогда сумма по 1 совпадает, как
указано, с оператором рождения экситона Френкеля с волновым вектором к.
Соответственно во второй строке (45.13) получаем выражение для оператора
уничтожения экситона Френкеля. С помощью этих выражений (45.13) принимает
более простой вид
Яэл-св,погл = %2 ЬьВ+D + й 2 bkB_*D. (45.14)
к к
Совершенно аналогичным образом для (45.5) получаем следующий оператор
Гамильтона:
Яэл-св, исп = % 2 Ъ^Вф + % 2 btB\D. (45.15)
к к
Как мы только что видели, кажется естественным вместо операторов рождения
и уничтожения электронов ввести операторы рождения и уничтожения
экситонов Френкеля. Мы рассматриваем ситуацию, когда экситоны Френкеля
образуются в решетке без взаимодействия с излучением. Тогда, согласно
результатам § 24, мы знаем, что с помощью введения операторов для
экситонов Френкеля оператор //эл можно представить в виде
Яэл--=й2еьЯ?Як. (45.16)
к
Таким образом, нам удалось привести исходный оператор Гамильтона нашей
системы "электроны - поле излучения" к весьма простому виду
Я = % (2 ekBk.Bk -J- 2 ft>k5k&k ~t~
( к к
+ s D (Ь*В+ + 6кВ_к + biBk + ь?я!к)}. (45.17)
В принципе этот оператор Гамильтона содержит три части: энергию экситонов
Френкеля, которые ведут себя как бозе-частицы,
ПОЛЯРИТОНЫ
329
энергию поля излучения и энергию взаимодействия между полем излучения и
операторами Бозе. Для каждого фиксированного значения волнового вектора к
существует связь между осциллятором, который порождается полем
