Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
<Ф1У0П|Ф> = iV, где N - наперед заданное число электронов.
Обсудим подробно вычисление подобных средних значений.
Для средних значений от 2 (Ец-р) "к,аак,а с учетом (42.11)
к,а
находим
Якин= 2 22^1, (42.15)
к
где положено Е^ = Ек - р.
§ 42]
ОСНОВНОЕ СОСТОЯНИЕ СВЕРХПРОВОДНИКА
309
Среднее значение энергии взаимодействия дается выражением 2
yk,k',wak+w,aak',a'ak'+w,cj'ak,cj(l)^,. (42.16)
k,k',w X
я*" = -4Y ф
a,a'
2 \
При вычислении (42.16) следует исследовать различные случаи.
1. w = 0. Соответствующий член суммы (42.16) теперь равен
Нк.к',0 <Ф I (r)к,о(r)к',а'(r)к',а'Як.аФ)>• (42.17)
Члены такого рода уже встречались нам ранее в рамках метода Хартри - Фока
в § 20 и представляют собственную энергию.
2. Следующим рассмотрим член вида
k'k.k.w | ^'k+w,a^'k,a/4iE-k+'\vJo/^'k,a^/>5 (ч^.18)
который можно привести к виду
Soa'^k.k.w^kHc+w (42.19)
Ниже увидим более подробно, как вычисляются выражения подобного типа,
поэтому мы сразу привели конечный результат
(42.19). Этот член можно назвать собственной обменной энергией.
Действительно, видно, что электрон со спином а переходит из состояния к в
состояние k + w, в то время как другой электрон со спином а' рассеивается
из состояния k + w в состояние к. Очевидно, в этом случае речь идет об
электронном обмене. И этот член также можно считать учтенным в рамках
метода самосогласованного поля.
3. Главный интерес для нас представляет член вида
^k.-k'.k'-k {Ф | ЯкЧа-кЧа-к|ак|Ф)- (42.20)
Мы подробно покажем, как вычисляется это среднее значение. Для этого
разложим Ф в произведение по Фк" согласно (42.8) и соберем вместе те
члены к", которые не затрагиваются операторами а+, а с индексами к, к'.
Вынося соответствующее среднее значение из (42.20) и разлагая его в
произведение средних значений, получаем
П <Фк"|Фк">-1 (42.21)
к'^к.к'
(см. задание 2). Тем самым от выражения (42.20) остается исследовать лишь
следующее среднее:
<Ф | ак'^кчЯ-к^ктФ)
= {ФокФок' | (ик' + ^k'a-k'4,ak't) (uk + ^k(r)-k|(r)kt) +
X flk'ta^k'J. ! a-kJ.^kT (Ик + Hkflkta-k].) X,
X (wk" +- Нк'ЯкЧа-кч) ФокФок'^- (42.22)
310
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
[ГЛ. VII
Вертикальные штриховые линии не имеют никакого математического смысла;
они стоят лишь для памяти, как разделительные линии при последующих
вычислениях.
Вначале подробно вычислим выражение (при Фо = ФоьФок')
(ик ~f~ ^k(r)kta-ki) (нк' + Pk'ak'ta-k'i) Фо- (42.23)
Тогда очевидным образом получаем соотношения
а_к^ДкгМкМк'Фо ~ (42.24)
fl-ki(r)kf Ик^к'Як'Г^-киФо = 0, к^к', (42.25)
Я-к].Як^ГкЯк1(r)-к^к'Як'^Я-k'l^o " ГкГк'Дк'|^-к',[Ф(Н (42.26)
а-к^кгИк'ГкактС^лаФо = ик-гкФо- (42.27)
Следует порекомендовать читателю самому еще раз проследить отдельные
этапы вычисления этих результатов, используя перестановочные соотношения
и свойства вакуумного состояния Фо.
С учетом результатов (42.24-42.27) выражение (42.23) переходит в
выражение
^к'^кФо И- РкГк'^к'Т^-к'|Фо- (42.28)
Расчет, который сейчас был проведен слева направо по отношению к
штриховой линии в (42.22), теперь можно соответствующим образом провести
справа налево (см. (13.35), (13.36)), поменяв местами к и к'. Тогда сразу
найдем, что выражение
<Фо ] (ик' + ^k'"-k'iak't) (ык + ГкД_к|Якг) (42.29)
можно представить в виде
<Ф0 I (ukIV -f- Vk^k'fl-kl^kt)- (42.30)
Если теперь подставить оба выражения (42.28) и (42.30) в выражение
(42.22), то мы, наконец, получим
(42.20) = <Ф0| (U\s. ~Ь ГкЯ- ki^kt) Гк,-к',к'-к^к'Гк X
X (ик' -f- Vk'^k't^-k'i) Фо> ^ ^к,-к',к'-к^кГк^к'^к'- (42.31)
Эти члены не появляются в приближении Хартри - Фока и являются совершенно
новыми. Они имеют, естественно, решающее значение для всей теории
сверхпроводимости.
Теперь вернемся к нашей первоначальной цели. Она состоит в том, чтобы
явно вычислить среднее значение полной энергии. С помощью только что
полученных результатов (42.15), (42.31) находим
I Едолн -1 ^1 Ekrk Е*к)к'НкНкНк'Ук'? (42,32)
I к к,к'
ОСНОВНОЕ СОСТОЯНИЕ СВЕРХПРОВОДНИКА
311
где использовано сокращение
Vk,k' - -rT^k.-k'.k'-k + ^-k.k'.k-k')- (42.33)
Теперь найдем минимум среднего значения. Для этого продифференцируем
выражение (42.32) по ик. При этом следует проследить, чтобы выполнялось
дополнительное условие и\ -j- -
= 1, в результате которого, естественно, ик становится функцией vik- При
этом дополнительном условии дифференцирование (42.32) по ик выполняется
немедленно и приводит к результату
2 ^2EkVk_- 2 Vk,k'uk'Vk' (wk - l'k/^k)j = 0. (42.34)
С установлением уравнения (42.32) или (42.34) программа квантовополевого
рассмотрения оказывается завершенной. Интересно лишь посмотреть, какие
собственные значения энергии основного состояния дает это решение и как
выглядит распределение электронов по состояниям к. Поэтому обратимся к
решению системы уравнений (42.34). Для этого введем сокращенное
обозначение
Лк = 2 V\LXuk'Vk', (42.35)
к'
с помощью которого (42.34) переходит в
(vl - ul) Ak + 2Екикик = о. (42.36)
Уравнение (42.36) можно формально решить относительно u/v, что дает
