Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
нижеследующие задания.
Задания к § 39
1. Вычислить (38.10) для свободных частиц, т. е. при ф = фо, ф+ == ф^,
использовав, однако, в качестве Ф н-частичное состояние. Остается ли при
этом верпым равенство G(x2, t2, xi, 11) = = 0 при t2 < 0?
2. Показать, что fowU)(r)o - О (Ф0 - вакуумное состояние для электронов и
фоионов).
Указание. Положить it) = е(,/л e~u,h)Ht и разложить экспоненциальные
функции справа в степенной ряд.
Подсказка: ЯПФ0 = 0. Почему?
Показать также, что<Ф0| Ь"-(*)Ф<>) = 0.
3. Доказать (39.41).
Указание. Провести соответствующие преобразования, как в (39.4) и
последующих уравнениях.
4. Найти графически корни уравнения (39.59), определив точки пересечения
прямых fie) - е с
/(e)-ek-2lU2_8 + eJ_w + Mw-
Для примера достаточно взять в сумме лишь несколько членов.
§ 39] ПРИМЕРЫ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ГРИНА 293
5. Решить уравнения (39.50), (39.51) с помощью преобразования Фурье:
+оо
Gk,k (t - t') = j Ск (Q) e-ioit-n dQ,
4-00
(A 39.1)
Gk-w,w,k = J ^k,w (й) dQ. (A 39.2)
- oo
Указание. После подстановки (A39.1) и (A39.2) вместо с представлением
Фурье 6-функции 6it - t') в (39.50) и (39.51) получаются уравнения
iCk (Q) (ек - Q) + 2 яЖ* №) = ~ лЖ W У2п
i^k,w (?2) (^k-w + Юа; Q) Sw^Tt (?2) - 0, мои
Ck
имеющие решение 1 1
у Ш(й)'
/ (^) - ^ - ек + 2 I
Р 4- ek_w -
w *
Чтобы вычислить (А 39.1) и (А 39.2), следует воспользоваться теоремой о
вычетах и убедиться в том, что уравнение, определяющее полюс Qp: f(QP) =
0, совпадает с уравнением (39.57).
Глава VII. СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
§ 40. Основные экспериментальные факты, касающиеся сверхпроводимости
Прежде чем изложить микроскопическую теорию сверхпроводимости, зададимся
вопросом, чего вообще следует ожидать от теории такого рода. Для этого
напомним кратко основные экспериментальные факты.
1. При определенной критической температуре Те некоторые вещества
переходят из нормального в сверхпроводящее состояние.
2. В сверхпроводящем состоянии электрическая проводимость становится
бесконечной.
3. Эффект Мейсснера - Оксенфелъда: независимо от предыстории, магнитная
индукция в сверхпроводнике равна нулю (например, сначала можно включить
магнитное ноле, которое проникает в металл с обычной-лрово-
Магнитная индукция Магнитная индукция димостью, а затем, при охлаждении
металла ниже температуры перехода, вытесняется из него, пли сначала можно
охладит!., а затем наложить магнитное поле, которое уже не может
проникнуть в металл (рис. 58)). Отсюда следует, что сверхпроводящее
состояние в заданном внешнем иоле является единственным стабильным
состоянием, к которому применимы законы термодинамики. Согласно эффекту
Мейсснера - Рис. 58. Эффект Мейсснера - Ок- Оксенфельда, сверхпроводник
ве-сенфельда. Поведение поля в ци- дет себя как совершенный диа-
линдрическом сверхпроводнике магнетик с равной нулю воспри-при Т < Тс и Т
> Тс. J ^
* имчивостью О.
Как для макроскопической, так и для микроскопической теории важно, что
совершенный диамагнетизм и бесконечная проводимость являются независимыми
свойствами сверхпроводника.
') Если говорить точно, то диамагнетизм не вполне совершенный, так как
магнитное поле проникает на глубину 10_е - Ю-5 см.
ОСНОВНЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ФАКТЫ
295
4. Переход "нормальный проводник - сверхпроводник" (не говоря об
одномерных сверхпроводниках) является фазовым переходом второго рода:
удельная теплоемкость при Т = Гс испытывает скачок.
5. Удельная теплоемкость электронов при низких температурах меняется как
ехр (- ДEjkBT).
Теперь кратко обсудим уравнения, с помощью которых можно описать
бесконечную проводимость и совершенный диамагнетизм сверхпроводника. Не
вдаваясь в подробности, рассмотрим уравнения Максвелла без внешних
зарядов. Плотность тока разлояшм на части, одна из которых j", вызывается
нормальными электронами, а другая j" происходит от сверхпроводящих
электронов. Таким образом, мы полагаем
Далее пренебрежем временными изменениями электрического тока смещения
Пренебрегая j" по сравнению с j" запишем (при принятых выше условиях)
уравнения Максвелла в виде
Эти уравнения Максвелла братья Лондоны дополнили следующими материальными
уравнениями:
1. У равнение для ускорения:
Это уравнение для ускорения описывает нарастание тока во времени при
наложении поля, т. е. описывает бескопечпую проводимость. Если бы все
электроны были подобны свободным частицам, для которых сопротивление
отсутствует, то Л давалось бы выражением
j = jn + j..
(40.1)
D = 0
(40.2)
и положим
ц = 1.
(40.3)
div Е = 0, div В = 0, ml Е -- - -В
С
(40.4)
(40.5) (40.0)
(40.7)
д\
Л^=Е-
(40.8)
(40.9)
где m - масса электрона, а п - плотность электронов.
2. Второе уравнение Лондонов гласит:
| Л rot js = - В/с. (40.10)
296
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
[ГЛ. VII
Как можно показать, постоянная Л в (40.10) должна совпадать, чтобы не
было противоречия, с постоянной в (40.8). Убедимся кратко в том, что
уравнение (40.10) действительно представляет диамагнитные свойства
