Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
нелинейной оптике, этот член играет важную роль, то мы рекомендуем
читателю в виде упражнения найти его явный вид.
По своей структуре оператор Гамильтона (44.10) с (44.15) и (44.20)
полностью аналогичен встречавшемуся уже нам гамильтониану, который
описывает взаимодействие между электроном и колебаниями решетки. Тогда
операторы рождения и уничтожения относились к квантам колебаний решетки.
В данном же слу-
//*,-". 1 ^1,' ("и
I'vkj
kjhfivkj
-j- 4Mk.;?nvkA
(44.20)
II = Ho + H, 1L.CB + IIB 3,
(44.21)
Anvkj "|/ m
/
2я "
Фм (*) ek,ie<kx 7- V?v (x) d*x. (44.22)
-const
324
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ПОЛЕМ ИЗЛУЧЕНИЯ [ГЛ. VIII
чае константы связи имеют совершенно иной смысл. Другое различие состоит
в том, что в проблеме взаимодействия между электронами и колебаниями
решетки речь шла об электронах, которые движутся в периодичном с периодом
решетки потенциале. В данном случае потенциал F(x) может быть любым.
Задания к § 44:
1. Получить соответствующие (44.1) уравнения Гамильтона для р и х и
вывести отсюда уравнения движения Ньютона, где в качество силы выступает
сила Лоренца К = еЕ -f- -~lv, В].
При этом учесть, что еЕ = - grad V - -j- А, а также В - rot А.
2. Выразить (44.6в) через операторы а+, а, Ъ+, Ъ, применив разложения
(44.7), (44.11а), (44.116).
§ 45. Поляритоны
Под поляритонами понимают возбужденные состояния, возникающие в решетке
кристалла в результате взаимодействия между светом и электронами. Как мы
уже видели на примере экситона Френкеля, в кристалле могут возникать
поляризационные колебания электронов, которые распространяются в
кристалле в виде продольных и поперечных волн. Если на кристалл надает
свет, то, как мы сейчас увидим, и в этом случае в кристалле могут
возбуждаться аналогичные поперечные поляризационные колебания.
Возникающие при этом процессы сильно напоминают два связанных маятника,
причем в нашем случае один маятник представляет поляризационные
колебания, а другой - колебания ноля излучения. Как нам известно из
механики, два связанных маятника, которые в отсутствие связи имеют
собственные частоты он и 0)2, совершают общее движение, причем новые
собственные колебания происходят с новыми собственными частотами ?2[ и
Q2.
Совершенно аналогичная ситуация возникает и в рассматриваемом нами
квантовомеханическом случае. Благодаря взаимодействию между светом и
экситонами Френкеля возникают новые стационарные состояния с новыми
энергиями и новым законом дисперсии. Чтобы не слишком перегружать
формализм всевозможными индексами, мы рассмотрим сравнительно простую
конфигурацию. Пусть атомы расположены в плоскостях перпендикулярно оси х.
Атомные волновые функции, из которых образуется полоса проводимости,
пусть будут p-функциями, ориентированными либо вдоль, либо поперек оси х.
Пусть волна излучения падает параллельно оси х и поляризована параллельно
оси у (рис. 59). Исходным пунктом нашего рассмотрения явля-
ПОЛЯРИТОНЫ
325
ется оператор Гамильтона (44.9) (с (44.6), (44.8)), причем нелинейный
член опущен нами еще в § 44. По аналогии с § 44 снова
введем для А разложение (44.7). Поскольку мы рассматриваем только одно
направление поляризации, индекс j теперь можно опустить. В отличие от §
44, однако, мы разложим полевые операторы электронов ф и ф+ по
локализованным в узлах решетки 1 функциям:
w,Xx - 1). (45.1)
При этом речь может идти либо о функциях Ваннье (см. § 19),
либо, в простейшем случае, об атомных волновых функциях. Ин-
У
Электрическое поле
Рис. 59. Рассматриваемая в тексте конфигурация электрического поля, волны
излучения и функций Ваннье зоны проводимости, е - направление вектора
поляризации, к - волновой вектор.
деке р показывает, о каком состоянии идет речь: об основном или о
возбужденном. Будем считать, что основное состояние принадлежит валентной
зоне и поэтому в данном случае индекс р соответствует индексу V.
Соответствующие волновые функции имеют s-симметрию. Индекс р может
обозначать также и возбужденное состояние, которое принадлежит зоне
проводимости. Поскольку мы считаем, что функции возбужденного состояния
имеют вид p-функций, то нам следует ввести дополнительно индексы 1, 2 и 3
в соответствии с возможными пространственными ориентировками p-функций. В
этом случае р принимает следующие значения: p = L, 1 или р = L, 2, или р
= L, 3.
Если разложение
ф (х) = 2 Я1,цг%(х - 1) (45.2)
1,Н
и соответствующее ему разложение для эрмитово сопряженного оператора
подставить в оператор Гамильтона (44.9), то мы получим новый оператор
Гамильтона
Я = ЯЭЛ + ЯСВ + ЯЭЛ.СВ.
Здесь Яэл зависит от операторов и Этот оператор
может также содержать выражения, описывающие кулоновское
326
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ПОЛЕМ ИЗЛУЧЕНИЯ [ГЛ. VITI
взаимодействие между электронами. Явный вид этого оператора, который
здесь пам совершенно не нужен, можно найти, например, в § 24. #св
описывает энергию свободного поля излучения и дается выражением (44.8).
Третий оператор Гамильтона в (45.3) описывает взаимодействие между
