Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
относится к движению электронов в потенциальном поле V(x); Я эл-св
описывает взаимодействие между электронами и све~ том, причем векторный
потенциал входит сюда линейно. Яэд?св описывает другое взаимодействие
между электронами и светом, причем сюда входит квадрат векторного
потенциала А, следовательно, это нелинейный член. В последующем изложении
мы пренебрежем этим членом, что оправдано для малого А. (Поскольку А
становится оператором, то это означает, что матричные
§ 44]
ОПЕРАТОР ГАМИЛЬТОНА
321
элементы А для состояний поля, которые здесь будут рассматриваться,
достаточно малы.) Последний член, #вз, описывает кулоновское
взаимодействие между электронами.
б) Оператор Гамильтона свободного поля излучения. В этом случае также
целесообразно разложить векторный потенциал но плоским волнам (см. § И):
А = 2 УЩ ^ цр '-***} (".7)
Здесь ю k - частоты парциальных волн излучения, ekj- - вектор поляризации
волны к. Поскольку имеются два произвольных направления поляризации, мы
будем различать их индексом /. V-объем нормировки, 6к,3- и b^j -операторы
рождения и уничтожения, удовлетворяющие обычным бозевскнм перестановочным
соотношениям.
Согласно § 11, оператор Гамильтона в этом случае имеет вид
I Яов-2йюкХ,А,#- (44-8)
Оператор Гамильтона полной системы равен сумме Я0" и Ясв:
I Яполн = Нол + Ясв. (44.9)
Для последующего представим сумму Нзл + Ясв в (44.9) несколько иным
образом:
| Яполн = Яо +Яэл-еп + Явз. (44.10)
Здесь оператор Я о состоит из суммы операторов Гамильтона свободных
полей:
Н0 = Но, эл + Я№ (44.10а)
причем Но, "я, Яол-св п Явэ уже встречались нам в (44.6), а Яси определен
в (44.8). По ряду соображений оператор Гамильтона полезно представить в
другом виде. Как мы уже много раз видели ранее, полевые операторы ф(х) и
ф+(х) имеет смысл разложить но собственным фупкциям уравнения Шредингера
Ф(х) = 2<VPn(x)' (44.11а)
и
Ф+(х) = 2<4<1Ы(х). (44.116)
и
В нашем случае в качестве функций срДх) целесообразно выбрать решения
уравнения Шредингера
й2
(х)| Фн - Яцфц. (44.12)
322
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ПОЛЕМ ИЗЛУЧЕНИЯ [ГЛ. VIII
Прежде чем мы подставим разложения (44.11а) и (44.116) в
(44.9) и (44.6), поговорим немного о перестановочных соотношениях.
Перестановочные соотношения только для операторов ноля излучения и только
для операторов электронного волнового поля нам уже довольно хорошо
знакомы (с.м. (11.55 - 11.57), (13.8)). Далее мы потребуем, чтобы
перестановочные соотношения, связывающие нолевые операторы одного ноля с
нолевыми операторами другого ноля, обращались в нуль, т. с. чтобы имели
место равенства
[v|"(x'), А(х)] = 0, ['ф(х'), П(х)1=0,
[ф+(х'), A(x)J =0, [ф+(х'), И(х)] =0. (44.13)
Здесь IKx)-канонически сопряженный А(х) импульс. Если с помощью
разложений (44.7) и (44.11а, б) ввести операторы поля излучения bkj, bkj,
а также электронные операторы рождения ц уничтожения то согласно
(44.13) можно показать,
что
[йр,, 5kj] = 0,
[4, ьк,}] -= о,
Подставим разложения (44.11а) н (44.116), а также (44.7) в
(44.10). При этом члены в (44.10) примут новый вид, п мы приведем их в
явном внде. Оба стоящих в IIо (см. (44.10а)) выражения уже встречались
нам ранее (см. §§ 18, И), так что их можно оттуда заимствовать:
Я0 = 2 Е*а+а" + 2 ГткЪ1Х,г (44.15)
В k,j
Новым для нас является член IIэл-,;в, поэтому мы выведем его в явном
виде. Сначала рассмотрим разложение векторного потенциала (44.7):
совершенно очевидно, что А содержит две разнородные части: одна из них
зависит только от Ъ, а вторая содержит только Ъ+. Соответственно этому
запишем
А = Аь + Аь+ (44.16)
н подставим это разложение в (44.66):
Яэл-св ~ f ф+ (х) Аь (х) y-ф (х) d3x + j ф + (х) Аь+ (х) уф (х) d3x.
(44.17)
Структуру гамильтониана //эл. С5, которую он принимает при подстановке
разложений (44.7), (44.16), (44.11а, б) в (44.17), мы обсудим
на примере первого интеграла, показав при этом, на что
к- ъи
к* bk,j]
0,
0.
(44.14)
§ 44]
ОПЕРАТОР ГАМИЛЬТОНА
323
заменяется каждын член подынтегрального выражения:
(44.18)
Поскольку операторы bkt}, av но связаны с интегрирова-
нием, их можно вынести из-под знака интеграла:
Те же шагп можно предпринять и в отношения второго интеграла в (Vi.17),
причем для этого следует лишь в коночном результате (44.19) заменить Ъ па
Ь+ н егкх на е - !кх. Чтобы получить полное выражение для Я".м, нам
следует еще добавить постоянные множители, которые стоят в (44.7) и
(44.66), а затем провести суммирование но ц, v, к, /. Тогда получим
Полный оператор Гамильтона, который мы положим в основу нашего
дальнейшего рассмотрения, дается выражением
где Н0, Яэл.с" н Нт заданы явно в (44.15), (44.20), (44.6г). Константы
связи g даются следующим выражением:
Константы связи g' получаются из констант g простой заменой к па к:
г
?(ivkj = guv, -kj-
Б приведенных выше вычислениях мы пренебрегли в (44.9) квадратичным но А
членом. Можно действительно показать, что в целом ряде случаев это
пренебрежение оправдано. Но поскольку в некоторых случаях, особенно в
