Квантовополевая теория твердого тела - Хакен Х.
Скачать (прямая ссылка):
(42.1) приводит к притяжению между двумя электронами с анти-
параллелъными спинами в рамках следующей модели: все электроны металла
"искусственно" удерживают внутри сферы Ферми и решают соответствующее
(42.1) уравнение Шредингера для двух лишних электронов, находящихся вне
сферы Ферми. В реальном случае, естественно, следует учесть то, что все
электроны из-за взаимодействия примут новую конфигурацию. Самое очевидное
предположение состоит в том, что электроны будут образовывать пары.
Согласно этому предположению кажется разумным следующий метод
конструирования волновых функций основного сверхпроводящего состояния:
исходя из вакуумного состояния, следует построить такие электронные
состояния, в которых спарены электроны с антипараллельными спинами и
противоположными импульсами. Если есть N электронов, то образуются N/2
пар, так что соответствующая волновая функция Дается выражением
Стоящие в нем коэффициенты разложения с к должны быть еще определены,
причем так, чтобы соответствующее (42.1) уравнение Шредингера
удовлетворялось "оптимально". Волновая функция
(42.2) соответствует фиксированному числу электронов, что поначалу
кажется совершенно само собой разумеющимся. Однако для практических
вычислений существенно более удобным оказалось выражение с переменным
числом электронов. Формально такую волновую функцию можно получить,
просуммировав выражения типа (42.2) цо переменным показателям степени m
(вместо фиксированного NJ2):
Н - -&k(r)k,oak,a к,а
-i- ^кД'.яг^Ь+ш.а^к'.а'Як'+уу.а'^Ь.а- (42.1)
к,к', w
о,о'
(42.2)
(42.3)
Коэффициенты ат пока что произвольны. Потребуем, чтобы эти коэффициенты
удовлетворяли следующим условиям:
§ 42]
ОСНОВНОЕ СОСТОЯНИЕ СВЕРХПРОВОДНИКА
307
1. Они должны быть определены так, чтобы снова наибольший вклад в
выражение (42.3) давали в конце концов только те члены, у которых тп
весьма близко к среднему числу электронов m = Nf 2.
2. Кроме того, сумма по m в (42.3) по возможности должна быть представима
в явном виде.
Оба требования можно выполнить с помощью подстановки a(tm) = 1 /яг!. Тогда
(42.3) переходит в
ф = 2 4г (2Ск^ а-ь i V4- (42-4)
ml . пг=о V к
Получившаяся теперь сумма есть не что иное, как разложение в ряд
экспоненты, к чему мы уже привыкли. Члены разложения являются
операторами. Тогда (42.4) можно привести к виду
Ф =-• Jf, ехр|2скЯкта^к||Ф0. (42.5)
где введен соответствующий нормировочный множитель •№.
В теории сверхпроводимости обычно применяется не выражение вида (42.5), а
приведенные ниже эквивалентные ему выражения. Поскольку операторы
(акта^м) Для различных к коммутируют между собой, то экспоненциальную
функцию в (42.5) можно представить в виде произведения экспонент:
Ф = ^п4>а-11ф0. (42.6)
к
Многократное действие операторов рождения на одно и то же состояние в
ферми-статистике дает нуль. Поэтому разложение экспоненциальной функции
обрывается на втором члене, так что
(42.6) переходит в выражение
Ф=^П(1+Сквк|в^*)Фо- (42-7)
к
Чтобы не выходить за рамки общепринятых обозначений, разложим
нормировочный множитель в произведение парциальных нормировочных
множителей и внесем каждый из них под знак произведения по к. Тогда
окончательно получим
I Ф = XX (Mk + l>kttkt(r)^k |) Фо == II Фк" (42.8)
1 к к
где Ск = -. (42.9)
пк
Разложение Ф в произведение по Фк станет более ясным, если разложить в
произведение по Фо,к вакуумное состояние Фо:
¦о 20*
Фо=ПФо.к,
308
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
[ГЛ. VII
где ак|Фо,к= Д-к^Фо.к^О, и положить Фь = ("к Д- Ук(r)кта^к|)Фо,к-Условие
нормировки имеет вид (см. задание 2)
ul + vl^i, (42.10)
где ради простоты в последующем будет принято, что и к и Гк являются
действительными константами. Как мы увидим, это требование может быть
выполнено всегда. Вероятность того, что состояние с электроном со спином
вверх п волновым вектором к занято, дается выражением
<Ф | акГак[Ф> = (42.11)
(см. задание 1). Вероятность того, что электронные состояния к и к' со
спином вверх заняты одновременно, представляется выражением
<Ф|ЯкГяк[йк'[ак'гФ) ^кДс'- (42.12)
Теперь нам следует кратко заняться вопросом, как можно было бы обойти
трудности, возникающие из-за того, что волновой функции Ф не
соответствует фиксированное число электронов. Для этого введем оператор
числа частиц
-ДДш - 2 як,аак,а (42.13)
к,а
и потребуем, чтобы среднее значение (42.13) относительно волновой функции
Ф совпадало с наперед заданным средним числом электронов. Это
дополнительное условие с помощью мнояштеля Лагранжа р можно ввести в
уравнение Шредингера, заменив оператор Гамильтона Н на оператор
H' = H-ixNoa. (42.14)
После того как установлена общая форма решения и известен оператор
Гамильтона, дальнейшая процедура в принципе ясна: сначала следует
образовать среднее значение оператора (42.14), а затем таким образом
определить коэффициенты ск и иь и i>k
в (42.5) и (42.8), чтобы это среднее значение было минимально.
При этом следует принять во внимание дополнительное условие, что
