Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
б) Обратимся теперь к доказательству сходимости разложения в ряд,
построенного в разд. 6.3. Оно было нормировано условием
U 6Я, (П.4.6)
которому не обязательно удовлетворяет решение (П.4.5). Обозначим
преобразование, задаваемое (П.4.5), через
Ф = ф + и(ф, е), /питч
S = X + v(x, Е, 8).
По лемме П.2.1 наиболее общее решение представимо в виде где Я? 6 G, a A,
d, Т) не зависят от нормировки. Следовательно, достаточно доказать, что
для ЯП можно найти сходящийся ряд, при котором разложение для решений
ШоЯ? совпадало бы с найденным в теореме П. 1.1. Так как группа С
конечномерна, последнее утверждение следует из теоремы о неявной
функции, в чем мы сейчас
убедимся.
Если
( ф' = ф + а,
<в\ , ' п ЛЬ = 0, ЛВ = ВЛ, (П.4.8)
I X =Х + b + Bt,
то для получаем
ф = ф + а + и(ф + а, е), j
l = X + b + BX + v(^ + a, % + Ъ + Вх, е). J
Остается найти а, Ь, В так, чтобы
( а + и \
(b + v+SJ^ (П'4Л0)
Разложим
С)
на компоненты, лежащие в Ж и 5?, и обозначим через Р^ проекцию
пространства решений на Ж.
Попытаемся определить а, Ь, В так, чтобы проекция
4b;;u+vMb+aj+4:) <п-4л"
была равна нулю. Функции u, v зависят от аргументов ф' = ф + а, - <х + b
+ Вх, е. Равенство нулю проекций (П.4.11) порождает конечное число
уравнений с одними и теми же неизвестными (а, Ь, В), изменяющимися в
зависимости от Jf. При е = 0 функции
Доказательство теоремы Мозера
38 Г
и и v обращаются в нуль, и решение имеет вид а = b = В = 0. По теореме о
неявной функции существуют аналитические функции а (е), b (е), В (е)
(разложения которых по степеням е не содержат свободных членов),
обращающие (П.4.11) в нуль. Это определяет отображение & в (П.4.8), при
котором удовлетворяет норми-
ровке (П.4.6). Так как °U, заданы сходящимися рядами, их композиция при
достаточно малом | е | также представима в виде
сходящегося ряда, что и требовалось доказать.
в) Полученный результат позволяет нам избежать сложной конструкции,
приведенной в приложении 3, и обеспечивает сходимость ряда, полученного
при формальном разложении, по крайней мере при указанной выше нормировке.
То же утверждение остается в силе, если потребовать, чтобы свободные
члены
остающиеся в разложении, образовывали сходящийся ряд.
Итак, резюмируя, мы можем сформулировать следующую теорему.
teopeMa 11.4.1. Формальные разложения в ряды по е для и (ф,
е)> v (Ф> Ъ е). А (е)> d (е)> D (е), о которых говорится в теореме П.
1.1, сходятся при достаточно малом е, если проекция
(П.4.12).
задана в виде сходящегося ряда по е.
ЛИТЕРАТУРА
Синергетика связана со столь многими научными дисциплинами, что любая
попытка составить более или менее полный список работ, имеющих
непосредственное отношение к синергетическим проблемам, неминуемо
обречена на провал: для такого перечня понадобился бы целый том. Сознавая
неизбежную ограниченность наших возможностей, мы указали лишь те работы,
которые были использованы нами при работе над книгой. Кроме того мы
привели ссылки на статьи, обзоры и книги, рекомендуемые для более
подробного изучения затронутых нами проблем. Все ссылки даны по главам.
1. ВВЕДЕНИЕ
1.1. Что такое синергетика?
Haken Н., Synergetics, An Introduction, 3rd ed., Springer, Berlin, Heidef
berg, New York, 1983. [Имеется перевод: Хакен Г. Синергетика.- М.: Мир'
1980.] В дальнейшем при ссылках на эту работу мы будем обозначать ее [1]'
Haken Н., Graham R., Svnergetik - Die Lehre vom Zusammenwirken, Umschau'
6, 191 (1971).
Haken H. (ed.), Synergetics (Proceedings of a Symposium on Synergetics,
Elmau 1972), Teubner, Stuttgart, 1973.
Haken H. (ed.), Cooperative Effects, Progress in Synergetics, North-
Holland, Amsterdam, 1974.
Haken H., Cooperative effects in systems far from thermal equilibrium and
in nonphysical system, Rev. Mod. Phys., 47, 67 (1975).
Дальнейшие ссылки читатель сможет найти в отдельных томах шприн-геровской
серии по синергетике, часть из которых перечислена в предисловии.
Популярное введение в синергетику см. в работе Haken Н.,
Erfolgsgeheimnisse der Natur, Deutsche Verlagsanstalt, Stuttgart,
1981.
1.2. Физика
Современный подход к фазовым переходам в системах, находящихся в тепловом
равновесии, основан на использовании ренормализационной группы:
Wilson К. G., Phys. Rev., В4, 3174; 3184 (1971).
Wilson К. G., Fischer М. Е., Phys. Rev. Lett., 28, 248 (1972).
Wegener F. J., Phys. Rev., B5, 4529 (1972); B6, 1891 (1972).
Burkhardt T. W., van Leeuwen J. M. J. (eds.), Real-Space Renormalization,
Topics in Current Physics, vol. 30. Springer, Berlin, Heidelberg, New
York,
1982.
Фазовым переходам и критическим явлениям посвящены также книги и обзоры.
См., например,
Литература
383
Wilson К. G., Kogut J., Phys. Rep., 12C, 75 (1974).
Domb C., Green M. S. (eds.), Phase Transitions and Critical Phenomena
(Internal Series of Monographs in Physics), vols. 1-6, Academic, London,
1972- 1976.
Ma S. K. Modern Theory of Critical Phenomena, Benjamin, Reading, MA,
1976. [Имеется перевод: Ma Ш. Современная теория критических явлений.-
