Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
его здесь, а вместо этого сформулируем соответствующую лемму.
Лемма П.2.1. Пусть °И в (А.2.1) - единственное (нормированное) формальное
преобразование и
/ А ^
N
(П.2.10)
V D J
- соответствующий вектор контрчленов, найденных в теореме П. 1.1. Таким
образом, °11 преобразует систему уравнений (6.3.1) и (6.3.2) в систему
уравнений (6.1.26) и (6.1.27), линеаризация которой имеет вид
ф = со, Х = Ах-
(П.2.11)
368
Приложение
Пусть °U, N (при е = О преобразование °Ц вырождается в тождественное, а N
= 0) - любое другое формальное разложение, обладающее тем же свойством.
Тогда найдется преобразование 93 6 (r) (см. (П.2.7)), такое, что °U, == <М
о? и N = N.
3. Сходимость ряда
а) Для доказательства полученного в предыдущем разделе разложения в ряд,
казалось бы, естественно воспользоваться методом мажорант Коши, однако
из-за малых знаменателей этот метод неприменим к интересующему нас ряду.
Грубая оценка приводит к мажорантам вида Y (п\)2хгп, которые расходятся
при любых |е|>0. Действительно, по лемме П.1.2 решение линеаризованного
уравнения приводит к умножению коэффициентов на множитель (г - г')~х, где
( Im {ф} |<Д, I Im {ф'} |<Д' - Комплексные области, в которых выполняются
оценки итераций. Выбирая последовательность областей | Im {ф} |<Дп с
\
Гп==_2!"(1 + "7)">"2" ПРИ n_>00' (И-ЗЛ)
мы получаем множитель (rn-i-гп)~х = О (п2х), переходя от определения
коэффициентов при е"-1 к определению коэффициентов при е". В результате
мы приходим к мажорирующему ряду Y {п\)2хе", который, как нетрудно
видеть, расходится. Тем не менее сходимость интересующего нас ряда
удается доказать с помощью другой конструкции, дающей ускоренную
сходимость (см. разд. 5.2 и 5.3). Основная идея метода принадлежит
Колмогорову. Доказательство Мозера представляет собой дальнейшее
обобщение и уточнение этой идеи.
Опишем метод последовательных приближений, в котором на каждом этапе
приходится решать линейные уравнения из леммы П. 1.2, но точность
возрастает в степень 3/2, что позволяет заменить предыдущий мажорирующий
ряд заведомо сходящимся мажорирующим рядом
? (n!f е<3/2)"
Мы опишем метод последовательных приближений со всеми оценками и в
следующем разделе покажем, как с помощью полученного результата доказать
сходимость ряда, найденного в разд. 6.3.
б) Рассмотрим снова семейство дифференциальных уравнений
Ф = а + f, |
(П.3.2)
l = b + Bl + g, J
где а = (пи . . . , а") - свободный вектор, a b = (blt . . . , Ьп)
Доказательство теоремы Мозера
369
тп
и матрица В (размером m X tn) ограничены условиями
ЛЬ = 0, В А = АВ. (П.3.3)
Вектор о = (cDlt . . . , со") и собственные значения Alt . . . , Л
матрицы А удовлетворяют неравенству
Ш, <") + Z^Aj>(||j||T+l)-IK, 0<К<1, (П.3.4)
которое выполняется при всех целых числах, любых векторах j и всех
наборах чисел k^, удовлетворяющих условиям
1ЕМ<1, 11*1x1^2, (П.3.5)
за исключением конечного числа векторов j и наборов к, таких,
что (j, к) = (0, к), для которых левая часть неравенства (П.3.4)
обращается в нуль. Число т мы выбираем так, чтобы оно было больше п-1.
Это обеспечивает существование соответствующих о и Л.
В дальнейшем нам понадобится рассматривать а, Ь, В как переменные
(удовлетворяющие линейным ограничениям (П.3.3)). Будем считать, что эти
переменные так же, как и переменные <р, |, принимают значения, лежащие в
комплексной области
| | Im (ср) |<r < 1, II [<s,
m-.\ +ж+|г_лк". (аз'6)
Относительно фиксированной постоянной с0 > 1 потребуем, чтобы выполнялось
неравенство q > с0К. В дальнейшем все постоянные, зависящие только от п,
т, с0, т, будем обозначать только через
С1, Со, Сд, . . . .
Теорема П.3.1. Существуют такие постоянные б0 и с, зависящие только от
с0, п, т, т, что если 6<60 ив(r) выполняется неравенство
Ш
^<г°К6 в 3), <г = т+1, (П.3.7)
то Нейдется преобразование
( Ф = Ф + и (гЬ),
7 /г \ (П-3-8)
I S = x + v(4>, X)
(вектор v линеен по х) и а = а> Ь - Ь, В = В из Ф,
такие, что
при а = a, b = b, В = Ъ под действием Щ система (П.3.2)
перей-
дет в систему уравнений
<р = (о + 0 (y),
при| Im (ф} |<г/2, | X l<s. (П.3.9)
y=ay+0(y2), J
В частности,
<р = <о/ + ф + и (ю/ + ф), | = v(ft>/, 0) (П.3.10)
370
П риложение
- квазипериодическое решение системы дифференциальных уравнений (П.3.2) с
характеристическими числами со 1т . . . , соп, Alt . . . ¦ ¦ •> Am.
Кроме того, а, Ь, В принадлежат области
¦-L + -LlL + | д_Л| <craKb<q, (П.3.11)
a u, v - вещественнозначные и аналитические функции, удовлетворяющие
неравенству /
сб при | Im {ф} [ С г/2, I )[|<Г (П.3.12)
Г S \ ,
в) Остальная часть этого раздела посвящена доказательству теоремы
П.3.1. Прежде всего заметим, что, заменяя | на s|, мы можем, не
ограничивая общности, считать s = 1. Аналогичным образом, заменяя t на Ы
и умножая а, Ь, В, ш, Л, f, g на А,-1, мы можем нормировать К на 1, т. е.
получить К = 1. Однако г нельзя обратить в 1, растягивая вектор <р, так
как угловые переменные ф1; . . . , ф" были выбраны с периодом 2л. Итак,
