Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
2). Обозначим эти компоненты через (f^, g^) и (f#, gs?)-Тогда
преобразование °UV мы найдем, решив линеаризованные уравнения
Как показано в предыдущем разделе, эти уравнения допускают единственное
решение, если потребовать, чтобы
Тем самым векторы u, v определены. Преобразование а, b и В неявно задано
уравнениями
е) Соотношения (П.3.30) ¦- (П.3.32) определяют преобразование °U.
Проверим, что оно отображает 0V+1= <&+ в <?>v= <2). (Для упрощения
обозначений условимся записывать величины с индексом v + 1, например,
sv+1, как s+, а у величин с индексом v опу-
^v+l)<=^v) <=S)0.
(П.3.27)
ряда 2 qv+1:
v=0
а~а +16 1 + 1 S-л'|<с4 2 <7v+i<2c4<7i<q0, (П.3.28)
Гд v=0
u^<o = f^(^, а, Ь, В), |
v^ + vzAx-Av = g^ (Ч>, а, Ь, В). |
(П.3.30)
иея.
(П.3.31)
а - a-(-f.r(a, Ь, В),
Р + Вх= b + B% + g^(a, b, В; х).
(П.3.32)
374
Приложение
скать индекс.) Для этого нам необходимо убедиться, что уравнения (П.3.32)
могут быть разрешены при
-L^Tzi0 L + JJLL +1 §-л |сд+, (П.з.зз)
Г+ S+
и что решения а, Ь, В попадают в 2D (см. (П.3.6)). Поясним ход
рассуждений для первого уравнения, пренебрегая зависимостью от b и В.
Воспользуемся теоремой о неявной функции. В \а-ia\Crq, как следует из
(П.З.19), (П.З.18), выполняются неравенства
(П.3.34)
Используя оценку Коши в сфере |а - ю = c±q+<irql2, получаем
s? с2 -3±- = , (П.3.35)
R с4 2
д f
да
где с2 > 1. Последнее неравенство в (П.3.35) достигается, если с4>2с2. В
сфере | а -(о |<7?, как следует из (П.З.ЗЗ), выполняется также
неравенство
I f# I +1"-(о \Crq+ + r+q+ <-- R <-j- R (П.3.36)
2
при 4, и стандартная теорема о неявной функции гарантирует существование
и единственность аналитического решения а = а (а) уравнения
а-(о = gc-<и-\Л. (П.3.37)
Рассуждая аналогичным образом, мы проверяем существование и
единственность решения а, Ь, В уравнения (П.3.32) в
+ + (П.3.38)
s 2
Тем самым, если постоянная 60 выбрана достаточно малой, доказана вторая
половина оценки (П.3.21).
Для того чтобы оценить решение u, v уравнений (П.3.30), воспользуемся
леммой П. 1.2. Для единственного решения уравнений (П.3.30) справедлива
оценка
-1^ + ±^<Сз(г - г+Г°г°б sScI+I6 в 0v+lt (П.3.39)
Г S
так как неравенство
Г-Г+ > 2-v->r (П.3.40)
следует из (П.3.18). Мы можем выбрать ту же постоянную с4, что и прежде,
увеличивая в случае необходимости предыдущую постоянную. Тем самым
доказана первая половина оценки (П.3.21) (вторая половина была доказана
выше).
Доказательство теоремы Мозера
375
ж) Найдя отображение 41, мы преобразуем g~v (или (П.3.2)) к новым
переменным и оцениваем остаточные члены Ф, В, чтобы завершить
доказательство по индукции.
Введем следующие обозначения:
В этих обозначениях уравнения преобразования, означающие, что переводит
(П.3.2) в (П.3.17), запишутся в виде
где в левой части произведение понимается в смысле матричного умножения,
а в правой знак ° означает композицию, т. е. замену Ф на ф + и, и т. д.
Сравним эти уравнения с теми, которые мы получили, обратив уравнения
(П.3.30), (П.3.32). В принятых нами обозначениях последние можно было бы
записать в виде
(смысл F#, F^ очевиден). Суммируя уравнения (П.3.46), получаем
соотношение
(П.3.41)
где F зависит от аргументов гр, а, Ь, В (но не от <р и |!), а Ф от 'Ф. Х>
а> S. Для преобразования Щ введем вектор
(П.3.42)
и его матрицу Якоби
(П.3.43)
Наконец, пусть
(П.3.44)
W' (/4 + + ф) = (А + ^)°Ш,
(П.3.45)
W'Aoo - Аоо - F л,
(П.3.46)
А+-А
где
(П. 3.47)
W'Aoc-Аооo(U (А+-А_) - Fq,
(П.3.48)
376
Приложение
¦ф, х. а> Ь, В - аргументы. Вычитая уравнение (П.3.48) из уравнения
(П.3.45), находим после несложных вычислений следующее соотношение для Ф:
W/<5 = -I + (Fo^_F0)= I + II+III, (П.3.50)
где
I = (W' - 1) (А+ - А.) ¦- (А - А") + (А - А.) =
и^(сс-со) \
v^("-co) + vx [р + (Д-Л)х]-(В-A)v J '
(П.3.51)
II = FoQi - F0o<2/, (П.3.52)
III = F0o^ - F0. у (П.3.53)
Переходим к оценкам каждого из трех членов, в которых запечатлены
отдельные этапы вычислений. Так, второй член хранит память о линеаризации
F, третий - о вычислении F (или F0) при смещенном значении аргумента,
первый - о замене а на со и т. д. "при решении системы уравнений
(П.3.30).
з) Для того чтобы оценить величину
|a>l+=supU^- + I5i) (П.3.54)
S5+ У r+ s+ >
(знак "+" в /Ф|+ относится к новой области Я)+, а также к г+, s+; важно,
чтобы норма при итерации изменялась), достаточно оценить члены
| 11+, I II |+, I 111[ +. Это следует из того, что
матрица
Якоби W' мало отличается от единичной. Но, поскольку две компоненты Ф и Е
имеют различные масштабы, необходимо показать, что даже матрица
/ 1 + u\jj 0 \
Utt >+-, J [(ПЛ66)
мало отличается от единичной. Для диагональных элементов близость к
единице следует из оценки (П.3.21). Что же касается члена, стоящего в
левом нижнем углу матрицы (П.3.55), то по оценкам (П.3.21) и Коши он
удовлетворяет неравенству
<с?+16.2 - Д±-<2с1+1б - • (П.3.56)
г S+ S+
v*-
Ч' S+
В силу нашего выбора s в (П.3.18)
= Усб, (П.3.57)
Доказательство теоремы Мозера
