Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хакен Г. -> "Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах" -> 131

Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.

Хакен Г. Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах — М.: Мир, 1985. — 424 c.
Скачать (прямая ссылка): sinergetikaierarhiineustoychivostey1985.pdf
Предыдущая << 1 .. 125 126 127 128 129 130 < 131 > 132 133 134 135 136 137 .. 152 >> Следующая

377
поэтому правая часть неравенства
v.k -^±- < 2C4,+1 |/ r^Sv (П.3.58)
при соответствующем выборе б0 может быть сколь угодно мала. Итак,
|ф|+<2(|1| + + |П| + + |Ш|+). (П.3.59)
Оценка трех членов, заключенных в круглые скобки, проводится
непосредственно, но мы покажем, как входят различные масштабные
множители.
Прежде всего покажем, что
|1|+<с6сГ+1 - &/+.; (П.з.60)
S+
Для оценки типичного "лена в I (см. (П.З. 15)) рассмотрим неравенство
lVa~m)l <-J+3±. . 2cv4+x - б <;2сГ' J- 6q+ (П.3.61)
S+ г ' S+
(при выводе которого мы пользовались определением области (П.З. 15) и
оценкой (П.3.21)). Оценки остальных членов могут быть получены
аналогично, но член (В-А) требует особого внимания. При его оценке
недостаточно воспользоваться неравенством,
IВ-А |< q, вытекающим из (П.3.52), и^необходимо^ обратиться к несколько
более сложной оценке
| В-А | = | В - В | +1 В-А\ = | w3 | (с4+ 1) q+
(П.3.62)
(при выводе которой мы воспользовались оценкой (П.3.21)). Итак,
неравенство (П.3.60) доказано.
Для того чтобы получить неравенство для^члена II, необходимо оценить
остаточный член ряда Тейлора:
lf(4P.I&'lr • •) -f (<Р. 0, '• • • ) | < max {| f| || I |}i< 2 (||,
(П.3.63)
где в силу неравенства (П.3.21)
IIКI ОС I +1 V | <s+ (l[ + Й+1б) <;2s+ (П.3.64)
(из неравенства (П.3.57) мы заключаем, что второй член в круглых скобках
может быть сколь угодно мал при подходящем выборе 6"). Итак,
I f (Ч>, !)-f (ЧР.О) | <4г J±- q+. (П.3.65)
S
378
П риложение
Аналогичным образом получаем неравенство
1в(Ф, S)-g(4>, 0) -g6(4),
(П.3.66)
Следовательно,
I II | + < с6 q+. (П.3.67)
S
Наконец, для оценки члена III воспользуемся теоремой о среднем значении,
т. е.
If M' + u, X + v) - f (ф, x) I < max {|fu, | ¦ | u
|) + max {| | • | v|j <
< 2q+2rcfrlb. (П.3.68)
При соответствующей оценке для g получаем
| III |+ < c7cl+1 - q+6. (П.3.69)
s+
Комбинируя оценки (П.3.60), (П.3.67) и (П.3.68) для I, II и III, приходим
к окончательному результату:
Ф1
< cscl+xq+ (-j- б + ). (П.3.70)
Ясно, что при оптимальном выборе s оба члена в круглых скобках
должны быть равны. Как видно из (П.3.57), это приближенно согласуется с
нашим выбором. Итак, с учетом (П.3.18) мы получаем неравенство
! Ф |+ < c8cv4+lq+2 Усб = 2 Ус б3 2 < Ус с^+'Кщ!б3'2.
(П.3.71)
Выбирая постоянную с достаточно большой (<г>сд), получаем из (П.3.18)
| Ф |+< cv+V°+163 2 = л*+А+1, (П.3.72)
что и утверждалось в (П.3.20). Тем самым доказательство теоремы
П.3.1 завершается. " - •,
4. Доказательство теоремы 6.2.1
а) Покажем теперь, что построенное в разд. 6.3 разложение в ряд по
степеням е действительно сходится. Для этого мы воспользуемся доказанной
в предыдущем разделе теоремой существования П.3.1 и установим сходимость
рещения, полученного в виде некоторого степенного ряда. Однако это
решение может не совпадать с найденным (в теореме 6.2.1) формальным
разложением, так как в разд. 6.3 нормировке подвергались отдельные
сомножители а не произведение °Ui °°U<i ° ° °Uv. Тем не менее
лемма
Доказательство теоремы Мозера
379
П.2.1 позволит нам установить сходимость единственного решения,
описанного в теореме 6.2.1.
Итак, рассмотрим уравнения (6.3.1) и (6.3.2) и предположим, что f, g -
вещественнозначные аналитические функции в некоторой фиксированной
области
(|1ш{ф)|<г, Il|<s, ] е |<е0, (П.4.1)
где
И , \й
("7" + s )<Afe°- (ПА2>
Применим к уравнениям (6.3.1) и (6.3.2) теорему П.3.1, заменив f и g, о
которых шла речь в приложении 3, на ef (<р, |, е) и eg (<р, 7 е). Хотя
доказательство теоремы П.3.1 было проведено без такого комплексного
параметра е, нетрудно видеть, что решения и, v, а, Ь, В, о которых
говорится в теореме П.3.1,- аналитические функции от е. Действительно,
аппроксимация, построенная при доказательстве теоремы П.3.1, оказывается
аналитической, а так как окончательное решение получается как равномерный
предел (в комплексной области) аппроксимаций, то окончательное решение
аналитично в комплексной области. Остается проверить, выполняются ли
требуемые теоремой П.3.1 неравенства
_L!iL+ 11й1<га/сб()1 (П.4.3)
Ясно, что неравенство (П.4.3) следует из (П.4.2), если
г° К 6П
(П.4.4)
Последнее неравенство устанавливает нижний предел для радиуса сходимости
решений и (ф, е), v (ф, х> в), а (е), b (е), В (е), аналитических в
области |1т{ф)|<г/2, |е|<е0 (функция v линейна по %).
Кроме того, при е = 0 решение, построенное в приложении 3, вырождается в
u = v = 0, а = со, 6 = 0, В - А, в чем нетрудно убедиться, полагая в
приведенных формулах 6 = 0. Следовательно, и, v, а; со, Ь, 5; Л допускают
разложения в степенные ряды без свободных членов, сходящиеся в круге |
е|<е0.
Это доказывает существование одного аналитического решения
и = и(ф, в), у = у(ф, 1, е),
А = а(е) - ел, d = b(e),
D-B(e)-Л
(П.4.5)
380
Приложение
нашей задачи. Тем самым теорема 6.2.1 доказана. Действительно, как
показано в конце приложения 2, степенные ряды для A, d, D однозначно
определены и не зависят от нормировок.
Предыдущая << 1 .. 125 126 127 128 129 130 < 131 > 132 133 134 135 136 137 .. 152 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed