Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.
Скачать (прямая ссылка):
примера можно привести движение Луны вокруг Земли. В первом приближении
можно считать как Луну, так и Землю точечными частицами, движущимися по
орбитам, определяемым исключительно силами тяготения, действующими между
двумя точечными массами. Но это решение безусловно должно быть
скорректировано как на влияние Солнца на орбиту Луны, так и на тот факт,
что Земля отнюдь не является абсолютно твердым телом, а напротив, в
высшей степени подвержена деформациям, поскольку она покрыта океаном,
испытывающим приливы и отливы. Мы не станем вдаваться здесь в эту тему -
она более подходит для курса небесной механики.
В-третьих, встречается немало случаев, когда мы сталкиваемся с системами,
уравнения движения которых чрезвычайно сложны и не позволяют получить
точное решение в замкнутой форме; нередко, однако, возможно указать
другую систему, гамильтониан которой почти такой же, как и гамильтониан
интересующей нас системы, но решение уравнений движения которой может
быть получено в замкнутой форме через квадратуры. Различие между исходным
и упрощенным гамильтонианами может в этом случае рассматриваться как
"возмущение". Именно к этому типу возмущений и относится задача об
ангармоническом осцилляторе. Эта задача возникает в теории малых
колебаний, о которых шла речь в гл. 3. В гл. 3 мы удержали только первый
член, отличный от нуля, в выражении для потенциальной энергии, что и
привело нас к таким уравнениям движения, которые удалось свести к
совокупности уравнений независимых гармонических осцилляторов. Вот эту-то
систему мы и считаем невозмущенной. Возмущение состоит в том, что в
гамиль-
183
тониане учитываются все остальные члены. Самым важным из них является,
конечно, кубический член.
Мы не станем заниматься общей задачей, касающейся систем со многими
степенями свободы, которые в первом приближении сводятся к задаче о малых
колебаниях (см. гл. 3); мы рассмотрим поподробнее одномерный
ангармонический осциллятор, гамильтониан которого задается уравнением
Н = ^+~пш*д*+к(р. (7.101)
Причина, по которой имеет определенный смысл заняться упрощенной
невозмущенной задачей, заключается в том, что "невозмущенная" задача
довольно близка к интересующей нас задаче, так что ее решение имеет по
меньшей мере некоторое отношение к решению действительно нужной задачи.
Более того, обычно удается найти решение "возмущенной" задачи в виде ряда
по степеням некоторого параметра, входящего в виде множителя при
возмущении, - так, например, как входит множитель А в выражение (7.101);
тогда можно надеяться - поскольку предполагается достаточная малость X, -
что несколько первых членов полученного ряда обеспечат хорошую
аппроксимацию решения возмущенной задачи.
13 следующем параграфе будет систематически развита теория для задач
такого типа, основанная на использовании переменных действие - угол,
введенных в предыдущей главе. Могут спросить, в какой степени необходимо
- если не касаться непосредственной связи вопроса с кван-товомехапическоп
теорией возмущений - бросать в бой тяжелую артиллерию канонических
преобразований; в самом деле, многие авторы полагают, что любой прямой
метод вполне успешно решает ту же самую задачу. На это можно возразить,
обратив внимание на то, что каноническая теория возмущений была в ходу
задолго до появления квантовой механики; но самым убедительным аргументом
является, пожалуй, то, что во многих случаях, как можно убедиться, прямые
методы оказываются либо более неудобными, либо они ведут просто к
ошибочным результатам; нередко случается, что они одновременно и
неудобны, и ошибочны.
Чтобы не быть голословными, мы разберем в этом параграфе применение двух
прямых методов. Эти методы будут применены к решению задачи об
ангармоническом
184
осцилляторе, гамильтониан которого задан выражением (7.101). Полученные
результаты мы сравним с теми результатами, которые следуют из
канонической теории возмущений; они будут получены в следующем параграфе.
Задача, которой мы будем заниматься в этой главе, - это задача о движении
системы, гамильтониан которой задан в виде:
H = H0 + KHlt (7.102)
где через И0 обозначен гамильтониан невозмущенной
системы, а через КНХ - возмущение. Нам нужно решить
следующие канонические уравнения движения:
дН дН
4* = ^. (7.ЮЗ)
Первый метод решения этих уравнений состоит в том, что записывают
Pk ~p'k + ^-Рк + №р? +..., = <7*' + hq'k' + №q'k +. • •
(7.101)
Через и q^' обозначены решения невозмущенной задачи:
"4ft).' <7-,05>
где индексом "0" отмечено, что вместо рк и qk следует подставлять их
невозмущенные значения /?*" и о*'. Величины p'k и q'k находятся
подстановкой (7.102) н (7.104) в (7.103) с учетом (7.105). Эта процедура
приводит к следующим уравнениям:
" = (Ш+1ЬШ1+2 {Sfcl <7М7> 1 1
Таким способом можно найти столько членов ряда (7.104), сколько
желательно.
Второй метод может быть использован только для многократно периодических
систем, где можно воспользоваться методом разделения переменных (см. §
