Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хаар Д.Т. -> "Основы гамильтоновой механики " -> 63

Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.

Хаар Д.Т. Основы гамильтоновой механики — М.: Наука, 1974. — 224 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovigamiltonovoymehaniki1974.pdf
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 70 >> Следующая

е [х, Ш] ; здесь через л: обозначен радиус-вектор электрона. Если
обозначить через п единичный вектор, направленный вдоль главной оси к
апоцентру, то мы получим из соотношений (7.307) для среднего по времени
3
от х значение у гап и тем самым для среднего по времени
от момента силы значение -гае[п, Щ.
Теперь мы рассмотрим два частных случая: а) поле 8 перпендикулярно
орбитальной плоскости, б) поле Ш лежит в орбитальной плоскости, составляя
угол с главной осью.
Случай (а). Интересующее нас уравнение движения определяет производную по
времени от момента импульса Mi
dM -f----ЗрТ
-у = моменту силы - - е[х, о],
или
^ = 4 ее а[п,Ш]. (7.309)
Вектор момента импульса М перпендикулярен орбитальной плоскости, а вектор
[п, (c)J лежит в орбитальной плоскости и направлен вдоль малой оси. Таким
образом, оказывается, что орбитальная плоскость поворачивается
SQi
вокруг большой оси. Скорость вращения определяется равенством
г/М. (7.310)
Случай (б). Уравнение движения теперь уже имеет вид: ^ =" ^eea&sinty,
(7.311)
поскольку теперь Л1 и [п, Щ параллельны.
Выражение для Z не зависит от времени по определению, и это можно
записать так:
е a cos 1)з = const. (7.312)
В предыдущем параграфе мы убедились, что величина ctj не подвержена
секулярным возмущениям. Это означает, что а - постоянная величина.
Следовательно, равенство (7.312) дает нам связь между скоростью изменения
е и t)j, т. е. между скоростью изменения эксцентриситета и скоростью
изменения ориентации орбиты. Из выражений (7.311), (7.312) и равенств
(6.150), определяющих связь между М ( = а2) и е (имея в виду, что а1-
постоянная), мы получаем для производных по времени от е и г)з:
с/8 о /* ом/ * I
(1 - е2) /• sini|\
(7.313)
dt
dip 3e?a.(l-e2)
dt 2a,
COSlJ).
Орбита представляет собой розетку, лежащую в орбитальной плоскости.
К решению этой задачи можно подойти иначе. Для этого нужно вернуться к
уравнениям движения (7.249). Используя (6.147) и (6.150), можно видеть,
что г, а следовательно и Ну, определяются выражением
й " - Tife " "*) ("'• " аМ4, Sin ^ (7'314)
Мы видим, что ах и а3 не меняются. Если подставить это выражение для Нх в
усредненные по времени выражения (7.249), мы получим уравнения движения
для секулярных изменений величин аа, (Зь и р,. Из этих уравнений можно
получить уравнения движения для координат
203
хну центра заряда. Эти координаты можно выразить через р2, Рз и i в виде:
3
х = - j аг (cos р2cosр3 - sin р2 sin p3cos /'),
3 (7.315)
у= - g аг (cos р2 sin рз + sin р2 cos р3 cos i).
Вспоминая, что ах и а постоянны, е2 = 1 -
л дНх л дПх • д/7, "1С.
да2' Р3-да3' ъ~ Зр2' (7-316)
мы получим после несколько громоздких вычислений следующие уравнения
движения для величин х, у:
/Заеё\2 .. /Заеё \2
х = -[шг)х' у = (7'317)
Из уравнений (7.317) видно, что центр заряда совершает гармонические
колебания с частотой со, определяемой равенством
- ^ (7.318)
где мы заменили а согласно (6.150) и (6.144).
Заканчивая эту главу, мы должны сказать о том, что здесь фактически
рассмотрена лишь незначительная часть многочисленных аспектов теории
возмущений. Так, например, вопрос о периодических возмущениях,
играющий
необычайно важную роль в небесной механике, оставлен нами вовсе без
внимания.
ЗАДАЧИ
1. Исследовать методами теории возмущений возмущение одномерного
гармонического осциллятора линейным или квадратичным членом в
гамильтониане и сравнить результат с точным решением уравнения движения.
2. Исследовать возмущение одномерного гармонического осциллятора
членом четвертой степени q [см. (7.201)].
3. Исследовать секулярные эффекты скрещенных электрического к
магнитного полей, действующих на атом водорода.
Глава 8
НЕПРЕРЫВНЫЕ СИСТЕМЫ
В этой главе мы расскажем о том, как можно поступать с уравнениями
движения для непрерывных систем, в точно такой же манере, как мы
поступали с системами, обсуждавшимися в предшествующих главах. Мы
используем здесь для получения канонических уравнений движения,
описывающих такие непрерывные системы, метод, состоящий во введении и
использовании компонент Фурье от величин Q(x), описывающих систему. Далее
описываются те видоизменения, которые необходимо ввести в формализм
Лагранжа и Гамильтона, чтобы использовать его и для непрерывных систем.
Во втором параграфе этой главы теория, развитая в первом параграфе,
применяется к звуковым волнам и электромагнитному полю.
§ 8.1. Формализм Лагранжа и Гамильтона применительно к непрерывным
величинам
В предыдущих главах формализм Лагранжа применялся к системам, состоящим
из точечных частиц, и к твердым телам; формализм же Гамильтона
использовался только для точечных частиц. В качестве одного из достоинств
формализма Гамильтона было указано, что он открывает нам сравнительно
простую возможность перехода к квантовой механике. Все системы, о которых
шла речь до сих пор, описывались конечным числом переменных. Однако
существует немало физических систем, которые должны описываться
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 70 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed