Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.
Скачать (прямая ссылка):
Дальнейшие подробности, касающиеся этого вопроса, можно найти в
литературе, приведенной в конце книги.
§ 7.3. Эффекты Зеемана и Штарка
для водородного атома
Рассмотрим систему, состоящую из одной частицы, гамильтониан которой
обладает сферической симметрией. Известно, что в этом случае после
введения сферических координат г, 0 и ф угол ф будет циклической
координатой. Соответствующий импульс можно ввести тогда в качестве одной
из постоянных at (см. § 6.1), а соответствующая переменная действия
определяется равенством [ср. (6.224)]
(7.301)
109
За соответствующую угловую переменную w4 может быть выбрана долгота
восходящего узла (см. § 6.1), деленная на 2л.
Теперь допустим, что включается однородное магнитное поле В. Поскольку
невозмущенная система обладала сферической симметрией, направление
полярной оси может быть выбрано произвольно; мы можем выбрать ее теперь
так, чтобы она была направлена вдоль магнитного поля. Мы уже упоминали
раньше о том, что влияние магнитного поля может быть учтено тем, что в
кинетической энергии квадрат импульса р2 заменяется на (р - еА)2, где
А - вектор-потенциал магнитного поля [см. (5.355)]. Век-
тор-потенциал А можно выбрать в виде:
Л= ' [В, 4 (7.302)
предполагая магнитное поле слабым, мы можем записать возмущенный
гамильтониан в виде суммы:
Н = Н0 + Ни (7.303)
где
И (Р~~еА)2 Рг е(^Р)_
1 2т 2т ~ т
^-Л-(р.[В,х])^-~{В-[х, р]) = - ~ BPlf. (7.304)
Индукция магнитного поля В играет здесь роль малого параметра X,
введенного в предыдущем параграфе, по которому проводится, разложение.
Так как Нх содержит только УФ, единственной переменной, участвующей в
первом приближении, будет шф. Из канонических уравнений движения мы
получаем:
. дН I dH-i дН-i еВ опг-\
Я*-ЦГ,=1>= (7'30о)
Из (7.305) следует, что орбитальная плоскость вращается вокруг
направления магнитного поля с угловой скоростью еВ/2тс, так называемой
ларморовской частотой; это вращение орбитальной плоскости называется
ларморовской прецессией.
Случай слабого однородного электрического поля несколько более сложен.
Одним из способов решения этой задачи может служить второй метод,
описанный в первом параграфе этой главы (см. задачу 5 к гл. 6). Мы не
200
станем здесь заниматься этой задачей во всех деталях, а ограничимся
секулярными эффектами в однородном электрическом поле. Мы начнем с
элементарного подхода, который в принципе годится также для случая
скрещенных электрических и магнитных полей (см. задачу 3 к этой главе), а
затем уже применим теорию секулярных возмущений, кратко изложенную в
конце предыдущего параграфа. Во всех случаях мы будем заниматься только
атомом водорода и воспользуемся результатами, полученными в предыдущей
главе.
Направим опять ось г по направлению поля, так что возмущение
гамильтониана запишется в виде:
Ну = еШг, (7.306)
где через Ш обозначена напряженность электрического поля.
В качестве переменных J и w мы воспользуемся величинами а; и из § 6.2; мы
вспомним также связь между большой полуосью а, полным моментом импульса
М, эксцентриситетом е, наклоном орбитальной плоскости i и aL, аг, а3 - с
одной стороны, и между временем, долготой перицентра, долготой
восходящего узла и величинами pit P-г и Рз -с другой. Все необходимые
соотношения были получены в § 6.1, н мы ими воспользуемся.
В предшествующем параграфе мы ^установили, что секу, лярные возмущения
обусловлены средним значением по времени от возмущающей энергии Ну. Нам
нужно поэтому вычислить среднее по времени от положения электрона; это
среднее одновременно определяет значение "центра заряда" водородного
атома. Мы увидим, что эта величина не совпадает с началом координат в
случае эллиптической орбиты. Таким образом, атом ведет себя как
электрический диполь, и нам следует ожидать секулярных эффектов,
возникающих в результате действия электрического поля.
Причина, по которой центр заряда не совпадает ни с центром масс (которым
служит начало отсчета, т. е. фокус эллипса), ни с центром эллипса,
состоит в том, что электрон движется быстрее вблизи перицентра, чем
вблизи апоцентра, и проводит поэтому большее время в тех частях
траектории, которые ближе примыкают к апоцентру.
Для вычисления Z мы найдем прежде всего средние значения прямоугольных
координат ? и т], введенных на рис. 28 и определяемых соотношениями
(6.153). Исполь-
201
зуя тот факт, что линейная функция времени [см.(6.155)] и связана с и
соотношением (6.156), и то, что период переменной и составляет 2л, мы
получим:
2л
- 1C 3
I = ^ \ a (cos и - е) (1 - е cos и) du = - j ае,
(7-307)
= 1 ^ а (1 - e8)'/j sin и (1 - е cos и) du = 0. о
Если еще раз обратиться к рис. 26 и заметить, что "центр заряда"
находится на линии ОР, как это видно из выражений (7.307), мы найдем:
- _ з
z = l sin sin i = - jea sin |32 sin /. (7.308)
Прежде чем обсуждать полученный результат, мы воспользуемся более
элементарным методом для установления влияния электрического поля Поле
будет создавать момент силы, действующий в точках траектории электрона: -
