Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.
Скачать (прямая ссылка):
Будем искать точное решение уравнений движения в виде ряда по степеням А,
в предельном случае Х-^0. При этом предельном переходе е3 стремится к
бесконечности по закону -X-1; извлекая квадратный корень из выражения
(7.123), мы можем представить его в виде степенного ряда по е3и.
If (9)11/2 = (- е3)1/2 [fo ~q)(q~ е,)]'/* X
X [ 1 - (q/2ea) - (дЖ) + ...]. (7.124)
Из (6.210) и (7.121) можно ввести переменную действия J:
J = §pdq=(- 2mh>3yi* [ У<°> - (J^/2ea) - (JM/8e*) + ...],
(7.125)
где определяются согласно соотношению
У(*> - § [ (в1 - q) (q - ег)] >/* qk dq. (7.126)
Если ввести вместо переменных q новые переменные % определив их из
соотношения [ср. (6.230)]:
2<7=(ei-t-e2) + (ei-e2)sin\|>, (7.127)
то угол г|) меняется от я/2 до 5л/2, когда координата а проходит значения
от ех до е2 и обратно, так что для мы получим:
2л
J{k) = \ (е1 - еа)2 ^ \j(e\ + еа) + 1(е1 - е2) sin cos2^^,
(7.128)
откуда следуют следующие выражения для У(0), У(1) и У<2):
JW = 1 я (6l - е2)\ JW = I я (е, + е2) {е1 - е2)\
1 (7-129)
J[2> = 64 л ^ei ~ D (ei + ег)2 - 4e2ea].
188
Теперь мы можем написать:
ei> <¦ = - (2?'/mco2)1/2 av 2Х2 ^ 13
е3 = (- та2/}.) (1 -j- а3К раЯ,2 -)-...);
для получения величин аг и рг надо последовательно подставить выражения
для еи е2 и е3 в выражение (7.122), определяющее f(q), и потребовать
обращения этого выражения в нуль; при зтом приравниваются нулю
коэффициенты при различных степенях К. В результате получим:
= а2 = - 2Е/т?а>\ а3 = 0, (7131)
= - р2 = (G?/msШ7) (2Е/тУ2, р3 = - 8?/"г3сов. Воспользовавшись (7.123) и
(7.127) - (7.129), найдем:
j____ 2пЕ
со
ИЛИ
, . 1 Ъ'к~Е ' 4тя со"
(7.132)
1 R12 А2
? = v = "-/2n- (7-133)
Чтобы выразить q через угловую переменную ш, мы
используем (6.208), т. е. пишем:
- f др dq = I т У/г ** \ -JL,, (7.134)
J 0J \ 2>. I dJ J у f (q)
где учтены (7.121) и (7.122) и то обстоятельство, что в (7.122) от J
зависит только энергия Е.
Разлагая [/(<7)]~1/2 в ряд, аналогично разложению в ряд (7.124), и
пользуясь подстановкой (7.127), мы найдем прямым, но утомительным
вычислением:
2nw = яр К (У/ят3ш6) cos яр ... (7.135)
Объединяя выражения (7.127), (7.130), (7.131), (7.133) и (7.135), мы
получаем в конце концов выражение и для q: "к Д2
q = A sin 2nw - (3 + cos 4лк') +...,
§ 7.2. Каноническая теория возмущений
В этом параграфе будет развита последовательная теория получения решения
гамильтоновских уравнений движения. Представим гамильтониан в виде:
н = н0 + Ul, -1- Ш1 г +... (7.201)
190
Обычно в правой части (7.201) стоит всего лишь один член, кроме Н0, как,
например, во всех случаях, разбираемых в этой главе, тем не менее мы
допускаем возможность наличия членов высшего порядка, что символически
отмечено включением члена /,2Я2.
Допустим, что интересующие нас задачи решаются путем введения переменных
действие - угол, т. е. соответствуют уравнению Гамильтона - Якоби с
разделяющимися переменными (см. § 6.2). В целях простоты ограничимся
здесь одномерными системами. В конце этого параграфа мы остановимся на
том, как можно распространить эту теорию на многомерные системы.
Переменные действие - угол, соответствующие невозмущенной системе с
гамильтонианом #0, обозначим через J0 и w0. Уравнения движения решаются
методом Гамильтона-Якоби, а функция Гамильтона - Якоби ищется в виде
степенного ряда по параметру к,
S=^S0 + kS1 + XiSa + ... (7.202)
Эта функция Гамильтона-Якоби порождает преобразование от невозмущенных w0
и J0 к возмущенным переменным w и J, определяемое уравнениями:
= Ю = Ж' S = S(^o J)- (7-203)
Исходная координата ^ - известная функция w0 и J0, так как мы
предполагаем, что невозмущенная задача может быть решена путем введения
переменных действие-угол. Если параметр Х->-0, мы возвращаемся к
невозмущенной задаче, так что S0 должно соответствовать тождественному
преобразованию; следовательно, эта функция должна быть вида [ср. (5.224)]
S0 = w0J.
Тогда из соотношений (7.203) мы получим:
J* = J + blk + "lk + - w = w0 + k^- + k2^ + ...
Функции 5], S2, ... зависят от w0 и J, но можно воспользоваться (7.205),
чтобы найти J0 и w0 в виде степенных рядов по к, причем каждый из членов
ряда зависит
(7.204)
(7.205)
1N
от w и J:
/0=/+^Р +?Жтг^ -(1г±Щг) !+•••;
\dw0/w<,=*w \dw0Jw"=w \dwi dJ jw^w]
(7.206)
+
+... (7.207)
dSx
'w,-w
( d*Si dSi
w0 = w-k[jf-)___+ X3
asj_
dJ jw0=*w
\ ЗУ dw0 dJ j w" =
Когда мы приступали к решению задачи, Н0, Нъ Н2, ... были функциями р и
<7, но уже после первого преобразования Гамильтона - Якоби, благодаря
которому были введены переменные w0 и J0 и одновременно решалась
невозмущенная задача, мы получаем:
Н = Но (Jo) "Ь hHi (w0, J0) + Х2Н2 (w0, J0) + ... (7.208)
Новое уравнение Гамильтона - Якоби, которое следует решать для нахождения
функции S, имеет вид:
н.(?)+м,{т. sr)+w^("'.. Ц)+¦..-?(./).
(7.209)
Представляя 5 в виде ряда (7.202), раскладывая энергию Е (J) в ряд по
степеням X,
Е (J) = Е0 (J) + ХЕх (J) + Х*Е, (J)+..., (7.210)
принимая во внимание (7.204), (7.205), мы получим из (7.209):
