Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.
Скачать (прямая ссылка):
момента (.i есть еще два других адиабатических инварианта. Для движения
заряженной частицы в магнитных полях таких конфигураций, как земное
магнитное поле или магнитное поле, используемое в термоядерных реакторах
(магнитные зеркала), можно доказать *), что частица, однажды захваченная
магнитным полем, навсегда останется в этом поле, если только не нарушатся
условия адиабатической инвариантности (предполагая, что рассеяния нет,
так как иначе возникает иной источник потерь частиц).
ЗАДАЧИ
1. Воспользовавшись уравнением Гамильтона-Якоби, получить уравнение
траектории частицы, движущейся в поле двумерного потенциала U = \x/r,
описывая движение в координатах u = r+*. v = r - x.
2. Используя уравнение Гамильтона - Яко'>и, получить уравнение
траектории частицы, движущейся в поле двумерного потенциала ,, 1 ,
и=-^аг2, описывая движение в координатах и и и, определяемых формулами х
= ch и • соэ и, ;/= sh и • sin и.
3. С помощью уравнения Гамильтона - Якоби и эллиптических координат
описать движение заряженной частицы в поле, создаваемом двумя зарядами,
закрепленными на конечном расстоянии друг от друга.
4. Воспользовавшись уравнением Гамильтона - Якоби, показать, что
траектория частицы, движение которой описывается гамильтонианом
Н = -j (Р\ + Pi) (я\ + <7i)"1 + (<7i + <7sT1, будет коническим сечением в
плоскости q^qi-
Б. Исходя из уравнения Гамильтона -Якоби, рассмотреть эффект Штарка в
атоме водорода, используя параболические координаты. Разложить полученное
решение в степенной ряд по напряженности электрического поля и сравнить с
результатами, приведенными в § 7.3.
6. В некоторой системе с двумя степенями свободы одним из интегралов
движения является энергия Н (qx, qt, ръ р2, l)=h, а другим F(th, <7", Ръ
ра)=с.
*) > например, Northrop and. Teller, Phys. Rev. 117, 215 (I960).
Показать, что в этом случае существует функция ф (qi} h, с), такая, что
chj) chj)
и что остающимися интегралами движения будут:
= const, ^ - t = const.
дс ' dh
Убедиться в том, что если
H = q1pi- Wi + ар\ - ар',
то имеет место также интеграл движения
PiQi + Ргйг - 2 ciPiPt = const;
завершить полностью решение задачи.
7. Частица, масса которой равна т, а энергия Е, движется
в плоскости ху в поле потенциала 11. Пусть до = ф-)-п)> -
аналити-
ческая функция комплексной переменной г - x-^-iy, такая, что
Показать, что полный интеграл уравнения Гамильтона -Якоби имеет вид:
5 = ф cos ах -f-ijj sin ах + а2,
где ах и а2-постоянные интегрирования.
Определить траектории частиц, идущих из бесконечности, где их энергия Е -
0, в потенциальное поле
. ХЮР*
АР*-ВРа'
где А, В, О и Я -точки с координатами (а, 0), (-а, 0), (0, 0) и (х, у), a
X - некоторая постоянная.
Глава 7
ТЕОРИЯ ВОЗАШЦЕНИЙ
В этой главе описываются некоторые методы, приложимые к системам,
уравнения движения которых не могут быть решены точно, но вместе с тем
некоторая упрощенная задача - называемая невозмущенной задачей -
допускает точное решение. При этом предполагается, что различие между
интересующей нас возмущенной системой и упрощенной невозмущенной системой
может рассматриваться как малое возмущение. В первом параграфе
рассматриваются прямые методы трактовки возмущений; эти методы
используются для исследования ангармонического осциллятора. Во втором
параграфе излагается каноническая теория возмущений, на которой
основывается квантовомеханическая теория возмущений. Рассмотрен также
кратко вопрос о секулярных и периодических возмущениях.
В последнем параграфе, наконец, разобран вопрос
о влиянии слабых электрического и магнитного полей на движение
заряженных частиц, в частности на движение частиц в атоме водорода.
§ 7.1. Ангармонический осциллятор
Случаи, когда можно найти точное решение уравнений движения реальной
физической системы, являются скорее исключением, чем правилом. Причин для
этого немало. В предыдущих главах мы обычно занимались задачами, которые
можно было свести к относительно простым уравнениям, записанным для одной
частицы. Многие из этих задач, касающиеся одной частицы, имеют дело с
центральными силами, которые, как мы видели, допускают решение в
квадратурах [см.(1.219)], Задачи, которые мы исследовали, по большей
части выбирались так, что квадратура вела к решению в замкнутой форме. Но
такие
182
простые решения для одиночной частицы для большинства систем будут лишь
первыми приближениями настоящих уравнений движения и являются результатом
пренебрежения "возмущающими" влияниями. Такие возмущения могут быть
нескольких различных типов. Прежде всего, возможен случай, когда
невозмущенную систему помещают в некоторое внешнее поле, такое, например,
как внешнее электрическое или магнитное поле. Тогда можно наблюдать
явления Штарка или Зеемана, - явления, к которым мы обратимся в последнем
параграфе этой главы.
Во-вторых, встречаются случаи, когда, интересуясь невозмущенной системой,
мы просто пренебрегаем влиянием составных частей этой системы. В качестве
