Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хаар Д.Т. -> "Основы гамильтоновой механики " -> 58

Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.

Хаар Д.Т. Основы гамильтоновой механики — М.: Наука, 1974. — 224 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovigamiltonovoymehaniki1974.pdf
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 70 >> Следующая

6.2). В этом случае можно воспользоваться функцией Гамильтона - Якоби
вида
S=^^Sk(qk-, at; к), (7.108)
к

где каждая из Sk зависит только от одной координаты qkt но может
содержать любые at (i = 1, 2, ..., s; s-число степеней свободы). В
выражении для S (7.108) явно указано, что Sk являются функциями параметра
возмущения Я. С помощью S* можно ввести переменные действия Jk согласно
определению:
Jk=b^tdqk' (7Л09)
где интегрирование ведется по полному периоду переменной qk. Энергия
системы Е является функцией величин аь п поскольку теперь благодаря
определениям (7.109) величины Jk зависят от ah можно найти энергию Е как
функцию J,,. Практически раскладывают Sh и Jk в ряд по степеням Я.
Следует, однако, иметь в виду, что периоды qk в возмущенной системе уже
иные.
Если необходимо найти изменения qk, требуется ввести также и угловые
переменные, согласно определению [ср. (6.208)]
M'fr==§ dqkdJ^Qqk' (7.110)
и уравнения, определяющие преобразование от величин рк и qk к величинам
wk и J/;.
Конечно, если все уравнения могут быть решены точно в замкнутой форме, то
нет никакой необходимости использовать теорию возмущений; но, как
правило, мы имеем дело с системами, где этого как раз нет и где просто
необходимо для нахождения решения использовать разложение в ряд по
степеням Я.
Применим теперь изложенные методы к системе, гамильтониан которой
задается выражением (7.101). Мы имеем в этом случае:
Н° = + J tna>2q\ H1 = q\ (7.111)
Используя первый метод, мы получим уравнение нуле-
вого порядка:
mq{0) + nm2q{0> = 0, (7.112)
решением которого будет
qW = A sin at. (7.113)
Уравнение первого порядка имеет вид:
mgu) -{-tna2qa> = - 3 (q^)2 = - ЗА2 sin2 at, (7.114)
189
а его решение запишется так!
А2
<?(1> = - 2^(3 + cos2"0- (7-115)
Уравнение второго порядка
тдт + тго2<7(2) = - 6<7(0)<7(1) = sin со/ (3 + cos 2co/)
(7.116)
имеет своим решением Л"
q{2) "
4 m2o)4
-^-sin3co/-со/ cos со/ -f- a sin со/ , (7.117)
где через а временно обозначен соответствующий произвольный параметр.
Связь р^ и q{i) определяется соотношением
p(i) = mqV), (7.118)
и мы получаем выражение для энергии:
Е = Е(0) + кЕ(1) + к2Е^2) +..., (7.119)
где
?<°> = jmcoM2, Е[1) = О, ?<2> = -^/ 37\ (7.120)
2 ~ тсоа \ 16,
В данном конкретном случае использованный метод не слишком подходящ по
двум причинам: прежде всего мы обнаруживаем, что решения дифференциальных
уравнений для q(1> и <7(2) допускают еще одно слагаемое, пропорциональное
решению невозмущенного уравнения (7.112). Но мы не добавили этот член к
выражению <7(1), а добавили к решению qw. Сделано это было для того,
чтобы получить правильный ответ, т. е. ответ, получаемый либо вторым
способом, либо с помощью канонической теории возмущений- для ?(1) и Е{2).
Если положить к тому же а равной 11/8, цель будет достигнута [ср.
(7.133)]. Вторая трудность состоит в том, что у нас появился член,
пропорциональный t cos со/, в выражении для q{2). Если разложение в ряд
по степеням к имеет хоть какой-нибудь смысл, то должна быть возможность
выбрать к столь малым, чтобы члены, содержащие кп (п Ф 0), оказались бы
меньше невозмущенных членов. Но совершенно очевидно, что это невозможно,
когда появляется неограниченно возрастающий член такого вида, как / cos
со/. В следующем параграфе мы увидим, что в выражении для qw,
187
получаемом из канонической теории возмущений, такой член не появляется
[см. (7.235)].
Следует добавить, что перечисленные трудности присущи только задаче,
связанной с гармоническим осциллятором, поскольку в этом случае - и
только в этом случае - невозмущенное уравнение движения представляет
собой однородное линейное дифференциальное уравнение. Вместе с тем,
поскольку уравнение движения гармонического осциллятора едва ли не самое
важное в теоретической физике, отмеченные трудности достаточно серьезны.
Воспользуемся теперь вторым методом для решения задачи об ангармоническом
осцилляторе. Мы увидим, что этот метод не сталкивается с отмеченными выше
трудностями, но при этом определить с его помощью возмущенное движение
довольно затруднительно. Фактически
Рис. 32. График функции f (q), определенной согласно (7.122); elt е% и
еа--корни функции f (q).
самый простой способ получения первых отличных от
нуля поправок как к энергии Е, так и к координате q
состоит в использовании канонической теории возмущений, которой мы
займемся в следующем параграфе.
Мы будем следовать Борну *) и воспользуемся пере* менными действие -угол.
Если через Е обозначить энергию системы, мы получим:
Е=+ т т"2<?а+^<?3*
или же
р = У2тЩф, (7.121)
причем
+ (7-122)
*) М. Борн, Лекции по атомной механике. Госгехиздат Украины, 1934.
188
Обозначим через еи еъ и три корня кубического многочлена f(q),
которые мы выберем так, что
e1-*(2E/ma)e)l/i, е2-*~- (2Е/та>г)1/2 и, наконец, е3-*-- оо, если Я,-"-0
(см. рис. 32). Тогда выражение для f (q) (7.122) можно переписать так:
f(q) = (e1-q){q-ei){q-ei)='
= - е3 (ег -q)(q-e2)[ 1 - (?/es)]. (7.123)
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 70 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed