Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.
Скачать (прямая ссылка):
величины квантовались в старой квантовой теории по правилам Вильсона -
Зоммерфельда,
170
Уравнения (6.225) и (6.226) могут быть по, чены прямым интегрированием,
однако существуют уда более элегантные пути достижения тех же самых j
зультатов. Простейший путь вычисления /2 состоит в м, чтобы, вспомнив
смысл выражения + р0Й + рфф кау удвоенной кинетической энергии частицы,
разбить его на 'ри части, соответствующие движениям в г-, в- и ф-на
давлениях
Рис. 30. Контуры обхода особых точек в комплексной r-плосности,
используемые при вычислении интеграла Ji в (6.231).
соответственно. Если разбить кинетическую энергию таким образом на три
части, соответствующие радиальному движению, поперечному
(трансверсальному) движению в плоскости орбиты и движению,
перпендикулярному орбитальной плоскости (это движение не дает вклада в
кинетическую энергию), то мы получим в результате:
ргг + р$ + р9ф = ргг + рУХ + 0, (6.228)
где через % снова обозначена истинная аномалия; поскольку рг представляет
собой полный момент импульса М, мы получим:
ре6=Мх-АрФ=а2Х-азФ, (6.229)
откуда следует (6.225), если вспомнить, что траектория замкнутая; в свою
очередь это означает, что когда угол 6 проходит свой период, от значения
я/2 - i до значения я/2 + / и обратно, то углы % и ф увеличиваются на 2я.
Чтобы вычислить Jx, можно ввести новую переменную и согласно уравнению
2r=(rx + г2) + {гх-г2)и, (6.230)
где через гх и г2 обозначены максимальное и минимальное значения г. Более
изящный метод, которым мы обязаны Борну, с помощью которого можно
вычислить /2,
171
состоит в том, что интеграл по г рассматривается как интеграл в
комплексной плоскости (см. рис. 30). Под-интегральная функция рг
двузначна, и поэтому необходимо ввести в r-плоскости разрез между двумя
точками ветвления гх и г2. На рис. 30 ветви выбраны так, что
положительный квадратный корень располагается над действительной осью, а
отрицательный - под ней. Тогда можно написать:
J^^Prdr. (6.231)
с,
Контур Ci охватывает разрез, но, деформируя его в два контура С2 + С3, мы
приходим к двум интегралам, каждый из которых может быть вычислен с
помощью теоремы Коши о вычетах. У подынтегрального выражения два полюса г
= 0и г -со, так что мы можем написать:
J1 = §prdr + §pr dr =
Съ Са
= 2ш [Res (при г = 0) + Res (при г = оо)]. (6.232)
Легко видеть, что первый вычет равен ia2, а вычислить второй можно, вводя
новую переменную г"1 и раскладывая в ряд подынтегральное выражение по г-
1; таким путем мы снова придем к выражению (6.226).
§ 6.3. Адиабатические инварианты
В предыдущем параграфе мы убедились в том, что вполне возможно выбрать
совокупность канонически сопряженных переменных, соблюдая следующие
требования: а) гамильтониан системы является функцией только половины
переменных, и б) для периодических систем, уравнение Гамильтона - Якоби
которых может быть решено методом разделения переменных, можно выбрать
угловые переменные таким образом, что они изменяются за период на
единицу. Причины, по которым вводятся переменные такого вида, что
гамильтониан зависит лишь от половины из них, более или менее очевидны,
но причины введения переменных "действие - угол" значительно хитрее. II
действительно, эти переменные оказались на авансцене лишь с
возникновением старой квантовой механики, и причина возникшего к ним
интереса была связана с тем, что переменные действия оказались так
называемыми адиабатическими инвариантами. Мы определим
172
адиабатические инварианты как такие величины, которые остаются
инвариантными, если параметры, входящие в гамильтониан, медленно
изменяются. Мы дадим более количественное определение адиабатических
инвариантов чуть позже и покажем, что переменные действия на самом деле
являются адиабатическими инвариантами.
Нам хотелось бы сказать несколько слов о значении адиабатических
инвариантов и о тех причинах, по которым они были введены в старую
квантовую механику. В свое время Эренфест показал, что если необходимо
найти величины, подходящие для квантования, то эти величины должны быть
адиабатическими инвариантами. Обоснования этого утверждения состоят в
следующем.
Если параметр в гамильтониане меняется настолько медленно, что в его
фурье-разложений оказ'ываются только частоты ниже определенного значения,
скажем v0, которое меньше, чем любая частота, соответствующая боров-ским
условиям для квантовых переходов, то га время изменения параметра никакие
квантовые переходы происходить не могут. Это в свою очередь означает, что
по мере медленного изменения параметров, происходящего в гамильтониане,
не могут изменяться квантовые числа; тем более не могут изменяться
квантованные величины. Поскольку переменные действия оказались
адиабатическими инвариантами, они могут служить подходящими объектами для
квантования; фактически именно для них были предложены правила
квантования Вильсона - Зом-мерфельда.
Причина, по которой такие медленные изменения были названы
