Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хаар Д.Т. -> "Основы гамильтоновой механики " -> 60

Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.

Хаар Д.Т. Основы гамильтоновой механики — М.: Наука, 1974. — 224 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovigamiltonovoymehaniki1974.pdf
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 70 >> Следующая

" , п , , дН0 dSt , " дн" dSt , 1 ,, д*Н0 fdsx \2 ,
H0(J) + X dJi> дщ+Л dJo дщ + 2 Х dJl\dwtj +•••
... + ХН1 (w0, J) + W^-^ + ... + WH,(w0, J)+...=
= Е0 (J) + XEx (J) + X*E2 (J) + ... (7.211)
Собирая все члены, соответствующие одной и той же
степени X, имеем:
H0(J) = E0(J), (7.212)
^-11 +я, к, J)-E,V), (7.213)
дН0 dSt . 1 д*Н0 (dSx \*
dJ0 dw0 2 dJl \ dw0 i
dJa dw,
m
+ ^^Г + Н, (Wo, J) = Et (J), ... (7.214)
Уравнение (7.213) определяет и Ev уравнение (7.214) - S2 и Е2, и т. д.
Чтобы показать, как это практически делается, вспомним, что р и q
являются периодическими функциями от с периодом, равным единице (см. §
6.2). Это остается в силе и сейчас, хотя переменная уже не будет
линейной функцией времени. Поскольку р и q периодичны относительно
&>", то же самое
относится и к Hi, Н2, • • • Поэтому Есе эти величины можно разложить в
ряды Фурье:
#! = 2j H'n(Jо) ехР (2ntnwu), (7.215)
П
Нг = ?Нп (Уо) ехр (2ninw0), ... (7.216)
П
Удобно также разложить в ряд Фурье и величины Sst
= 2] Sn (У) exp (2ninw0), (7.217)
П
S2= 2] Sn (J) exp (2ninw0), ... (7.218)
П
Из (7.217) и (7.218) вытекает, что в рядах Фурье для dSJdw0 и dS2/dw0 нет
членов с п = 0 и что, следовательно, средние за период от dS^dw,) и
dS2/dw0 равны нулю. С другой стороны, если вычислять среднее за период от
Нъ Н2, ¦ ¦ ¦ или их производных по У0, то там окажется член,
соответствующий п = 0. Поэтому, если вычислять среднее от уравнений
(7.213) и (7.214) за период (это
среднее мы обозначаем чертой над соответствующими
величинами), мы получим:
?1(У)=Я1, (7.219)
Обратим внимание на то, что хотя dSL/dwo = 0, два последних члена в
правой части уравнения (7.220) вовсе не обязательно обращаются в нуль.
Уравнения (7.219) и (7.220) определяют Ег и Е2.
Если произвольную функцию G от w0 записать в виде
G = G-G, (7.221)
т. е. обозначить волнистой чертой чисто периодическую часть функции от
w0, мы получим из (7.213), (7.214),
7 Д. тер Хаар > 198
(7.219) и (7.220) следующие уравнения, из которых мы можем найти и S2i
dS2
-я-
II
dSj - Н\ (J) dw0 v
1 ЪЩГ/'Щ'
дН1 dS-L
где мы положили [ср. (7.212) и (6.211)]
дНл__ dJ], V-
(7.222)
(7.223)
(7.224)
Можно выразить Sj и S2 через коэффициенты Фурье Н'п и Нп разложений
(7.215) и (7.216), но мы не станем здесь этого делать.
Прежде чем переходить к обобщению теории на многомерные системы, мы
применим только что изложенную одномерную теорию к задаче, рассмотренной
в предыдущем параграфе. Переходя к ангармоническому осциллятору, прежде
всего следует вспомнить решение Гамильтона-Якоби для невозмущенной
задачи. Из (7.136) видно, что координата q, выраженная через переменные
щ0 и J0, определяется равенством
q = (У0/л/?гы)!-'> sin 2лк'". (7.225)
Гамильтониан, выраженный через т'0 и J0, примет вид:
Я = Я0 + ХЯ1,
где
Н0 - v./0, sin3 2лк'0,
a v -величина, определяемая согласно (7.133) венством v = (o/2n [ср.
также (7.224)].
Из (7.219) и (7.222) получаем:
Ях-0,
J ^ ',sin*2utt.i0,
dSi
Tiw0
(7.226) т. е. ра-
(7.227)
(7.228)
или же
5 ? [_______
1 2nv \ я/поо
-^-cos2nat0 --jy cos Сла.'0 , (7.229)
откуда мы имеем с точностью до членов, линейных по Я:
'/i
sin 2nw ¦
птсо / ...... 2та>> птсо
в соответствии с выражением (7.136)
(3 + cos4nw) (7.230)
Из (7.220) мы получим теперь!
15/"
(7.231)
1бл*т8со*
в соответствии с выражением (7.133).
С помощью (7.223) можно найти dStldw0 и, следовательно, S8. В результате
получим:
После утомительных вычислений можно найти выражения для J0, w0 и q с
точностью до к3, выраженные через J и w:
Отметим, что, отвлекаясь от неограниченно возрастающего члена, выражение
qi2), определяемое согласно
(7.117), совпадает с коэффициентом при X* в выражении (7.235), если
считать а "=11/8. Стоит подчеркнуть, что каноническая теория возмущений
быстро приводит к результату, если нужно получить добавок к энергии, но
она же требует весьма утомительных вычислений, если требуется найти
изменение координат. Однако она в обоих случаях работает быстрее, чем
второй метод, изложенный в предыдущем параграфе. Следует помнить, что
окончательное выражение для энергии оказывается зависящим только от J,
так что w будет линейной функцией времени.
В заключение этого параграфа мы коротко рассмотрим случай задачи с
многими степенями свободы, оставив, однако, то ограничение, что
невозмущенная задача допускает решение методом разделения переменных,
если ввести переменные действие - угол; другими словами, мы рас-
7* №
4я3т3со4
(7.234)
сматриваем многократно периодические системы. Пусть w'% и Jl'(k=l, 2,
..., s; s - число степеней свободы) будут переменными действие - угол для
невозмущеиной системы. Все координаты qk будут периодическими функциями
w'k, точно так же как и #ь #2, ... в (7.201). Теперь мы повсюду
используем разложение в ряды Фурье, о котором шла речь в начале этого
параграфа, и по аналогии с (7.215) и (7.216) запишем:
#!= Н п.,... (Ji'' ...)ехр2ш' (7.236)
п j, п 2, ... к
Н2= ^ ... W' • • •) ехР 2я" ? /irf, (7.237)
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 70 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed