Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.
Скачать (прямая ссылка):
адиабатическими, состоит в том, что из статистической механики вытекает
следующее утверждение: энтропия системы определяется распределением
образующих систему частей по возможным энергетическим состояниям.
Поскольку никаких переходов в другие состояния во время адиабатического
изменения параметров быть не может, энтропия должна оставаться
неизменной; такое положение дел соответствует термодинамическому
определению адиабатического изменения. Стоит заметить здесь, что
адиабатические инварианты играют также важную роль и в современной
квантовой механике; соответствующее утверждение звучит в этом случае так:
система, находящаяся в стационарном состоянии, будет продолжать
находиться в этом состоянии даже при наличии адиабатических процессов.
173
Совсем недавно вновь вспыхнул интерес к адиабатическим инвариантам,
поскольку они играют важную роль в теории ускорителей и теории движения
заряженных частиц в магнитном поле, весьма существенной для проблемы
управляемого термоядерного синтеза.
Ради простоты мы докажем адиабатическую инвариантность переменных
действия только для одномерного случая; можно заметить, что аналогичное
доказательство справедливо также и для случая с большим числом степеней
свободы, если не существует соотношения типа
2>Л- = 0, (6.301)
i
где ki - положительные или отрицательные целые числа, а частоты v*
определены согласно (6.218). Система, для которой удовлетворяется хотя бы
одно соотношение вида (6.301), называется вырожденной. Такие системы в
этом параграфе мы рассматривать не будем, хотя они нередко встречаются в
природе. В задаче Кеплера мы как раз столкнулись с такой системой: мы уже
указывали в предыдущем параграфе, что из (6.227) следовало, что Vl = v2 =
v3.
Мы займемся теперь системой, описываемой гамильтонианом
Н = Н(р, q; a(t)), (6.302)
где через а (t) обозначен параметр, меняющийся со временем. В пределе,
когда
d(0-*-0, (6.303)
мы говорим, что имеем дело с адиабатическим изменением.
Для осуществления преобразования от переменных р, q к переменным
"действие - угол" J, w мы используем производящую функцию вида (5.220а) W
(q, w, а), которая зависит теперь уже от времени через параметр a(t).
Преобразование задается уравнениями
Р- dq' dw ' (6-304)
Поскольку в этом случае гамильтониан зависит от вре-
мени, нам нужно действовать с осторожностью. Мы используем то
обстоятельство, доказанное в § 5.4, что канони-
174
ческие уравнения движения эквивалентны вариационному принципу (5.425).
Это значит, что из уравнения
2
б - q,a)]dt = 0 (6.305)
1
должно следовать уравнение
2 _
б \[Jw- H(J, w, a)] dt = 0, (6.306)
l
поскольку преобразование (6.304) является каноническим. Далее мы
получаем:
pq - Н (р, q, a) = Jw-H(J, w, a) + jtV(q, w, a), (6.307)
и, принимая во внимание (6.304) и сравнивая коэффициенты при q и w в
обеих частях этого уравнения, мы обнаруживаем, что
V^W, (6.308)
а также и что
H(J, w, a) = H(J, а) + д-^, (6.309)
где учтено, что после преобразования гамильтониан Н не будет содержать
переменную w. Уравнения движения для w и J приобретут теперь вид:
. _ ая = ая I | (<№_ Л
W ~ dJ ~ dJ + dJ dt ~ dJ + dJ [да )'
¦г__дЛ=_ дН (У, а) _ д_ dW _ _ д_ fdW Л
' dw dw dw dt dw \ da aJ
Допустим теперь, что J принимает при t = 0 заданное значение J (0), и
выясним, как изменяется эта величина в течение интервала времени Т, за
который параметр а изменяется от своего исходного значения а0 до значения
я0 + ба. Для упрощения рассуждений будем считать, что а изменяется
линейно; это означает, что производная й
(которая равна в нашем случае ба/Т) постоянна, а также и то, что й
стремится к нулю, если интервал Т стремится к бесконечности, причем
произведение аТ остается конечной величиной. Из выражения
(6.311) для
(6.310)
(6.311)
175
приращения J мы получаем!
т
У(Г)-Д0) = -(6.312а)
о"
т
--¦-Л <б-з12б> о т
= - а $ Ak(J, a) e2Mkw dt (6.312в)
О кфО Т
= -dj 2№ + ^'(r)+...)х
О A^tO
X exp [2л/ (v0t + б0 + (v±t2 + 8J) й + ...)] dt
(6.312r)
= -j ? /4*'exp[2n/A(v0f + 60)]atf|+
O \кфО )
Т
+ а2\ (...)dt + ... (6.312л)
о
При переходе от (6.312а) к (6.3126) использовано наше предположение о
том, что й = const. Уравнение (6.312в) следует из того, что
рассматриваемая система - периодическая по w с периодом, равным единице,
так что величина W может быть разложена в ряд Фурье. Переменная w не
является уже, строго говоря, линейной функцией времени, но из (6.310)
следует, что
w = ~t + 8(J, а) = v (У, a)t + 6(J, а) =¦
= V + б0 + К/2 + б,/) й +..., (6.313)
где величина б (J, а) была бы настоящей константой, если бы а не
менялось, и где мы разложили величины v и б в ряд по степеням t.
Перейдем теперь к пределу, когда Т-*¦ со. Поскольку модуль интеграла,
стоящего в первом члене (6.312д), на верхнем пределе принимает конечное
значение, равное
2 [АЦ2лЬ0],
кф О
173
то этот член стремится к нулю, если й стремится к нулю. Второй член по
порядку величины самое большее совпадает с величиной йгТ - (йТ) й,
