Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.
Скачать (прямая ссылка):
которая также стремится к нулю, если d-"-0. Мы видим, что в предельном
случае й-*- 0 величина J просто не меняется. Мы не хотим заниматься
рассмотрением более общего случая, когда высшие производные от а по
времени отличны от нуля, отсылая читателя к соответствующей литературе
*).
Полезно хотя бы кратко обратить внимание на связь между инвариантностью J
и теоремой Лиувилля в статистической механике. Эта теорема утверждает,
что элемент объема в фазовом пространстве инвариантен. Для выявления этой
связи в одномерном случае, который мы только что рассматривали, мы
записываем:
J = § р dq = ^dpdq = ^ d?i,
где через dQ обозначен элемент фазового пространства.
В завершение этого параграфа мы рассмотрим два примера.
Первый из них - математический маятник, причем мы ограничимся случаем
малых колебаний, так что уравнение движения маятника будет совпадать
с уравнением линейного гармонического осциллятора. Второй пример-
движение заряженной частицы в магнитном поле.
Пусть I будет длиной математического маятника, 0 - угол его отклонения от
вертикали, <7 -линейное смещение, а V -частота колебаний. Обозначим через
? энергию маятника; т - масса шарика, g -ускорение силы тяжести. Вопрос,
на который мы хотим ответить, состоит в следующем: как изменится
амплитуда 0О, если I будет меняться адиабатически? Ответ на этот вопрос
можно получить двумя путями. Первый путь состоит в том, что изменение
механической системы при адиабатическом изменении длины маятника от / до
l-\-dl рассматривается
Рис. 31. Изменение движения простого маятника при адиабатическом
изменении его длины от I до /-dl; Р - точка подвеса маятника.
*) См., например, J. М. Burgers, Ann. Phys. (Lpz.) 62, 195(1917).
177
совершенно непосредственно. Второй путь - куда более быстрый -
заключается в использовании адиабатической инвариантности J. Мы
остановимся на обоих методах.
Работа dW, совершаемая при изменении I, разбивается на две части - работу
против силы тяжести и работу, совершаемую против центробежных сил:
dW = - mg cos S dl - m/02 dl, (6.314)
где черта над величинами означает усреднение по промежутку времени, за
который происходит изменение /. После того как длина маятника
достигает своего нового,
окончательного значения, можно подвести баланс энергии
и записать:
dW = - mgdt + dE, (6.315)
где через dE обозначено изменение энергии маятника; что касается величины
- mg dl, то она представляет собой изменение потенциальной энергии массы
т за счет изменения ее положения в поле тяжести. Объединяя (6.314) и
(6.315) и полагая при этом cos 0 ^ 1 -1/262, получим:
dE = y mgB2 dl - m№dl. (6.316)
Поскольку длина меняется медленно, т. е. изменение
длины занимает время несравненно большее, чем период колебаний маятника,
можно написать
¦j Е = тП2 = mg№ (6.317)
и переписать (6.316) уже так:
dE = - (Е/21) dl. (6.318)
Отсюда следует, что величина ЕЧ является инвариантом, а поскольку Е
пропорционально Ю1 [ср. (6.317)], где 60 - амплитуда колебаний, то мы
видим, что
/30jJ = invariant. (6.319)
Если же воспользоваться адиабатической инвариантностью J, доказательство
(6.319) совсем просто. Из (6.222) и (6.223) мы имеем:
J = E/v, (6.320)
и поскольку Е пропорционально /0jj, то (6.319) следует
отсюда немедленно, так как для математического маят-
178
ника v пропорционально 1 /У I. Мы обращаем внимание на то обстоятельство,
что, сочетая пропорциональность v и 1 /YI с (6.318), мы сразу же получаем
доказательство инвариантности отношения E/v, т. е. величины J для данного
примера.
Наконец, несколько слов о заряженной частице в магнитном поле. Мы
остановимся только на самом важном из адиабатических инвариантов; кроме
того, мы ограничимся простейшим случаем, когда магнитное поле однородно и
направлено вдоль оси z; это означает, что векторный потенциал А такого
поля имеет компоненты
- у By, - y Вх, 0. Переменная действия, которую следует ввести, имеет
вид:
Je=§PedQ, (6.321)
где временно введены цилиндрические координаты г, 0, г. Выразим
лагранжиан системы в цилиндрических координатах [ср. (5.353)]:
L = jm(r4 г20а + z2) + ~еВг2й. (6.322)
Из лагранжиана (6.322) мы получим выражение для р9: р$ = тг2Ь-\-~еВг2.
(6.323)
Чтобы еще больше упростить задачу, мы рассмотрим случай, когда z = 0 и г
= 0, т. е. случай, когда частица движется по окружности вокруг силовых
линий магнитного поля с циклотронной частотой шс,
(?>с = еВ/т, (6.324)
так что 0 = юс. Из выражений (6.321), (6.323) и (6.324) мы получим тогда:
Jq = (6пт/е) (mv\/2B) = (6лт/е) jx, (6.325)
где через обозначена поперечная скорость:
их = гй, (6.326)
а через ,и - магнитный момент, соответствующий движению частицы,
(я = 2 ev±r = ev\/2e>c = mv\/2B. (6.327)
179
Таким образом, для нашего частного, крайне упрощенного случая доказано,
что магнитный момент ц является адиабатическим инвариантом. Этот
результат остается справедливым и для более сложных движений заряженной
частицы, причем поле вовсе не обязательно однородно. Кроме магнитного
