Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.
Скачать (прямая ссылка):
(5.106) можно увидеть:
H^PuHu-L, (5.104')
= ? Pkbqk + с1кЬРи - бL, (5.105')
U к
61=2 ^1+ 2 Ш ^ - 2"^+2^106'> к к к к
Фактически и мы воспользуемся этими выражениями, когда перейдем к
рассмотрению гамильтоновского формализма для сплошных сред (гл. 8). Кроме
того, мы повсюду предполагаем, что L не зависит от времени явно; если это
так, то это будет справедливо и по отношению к Н.
Мы хотели бы обратить внимание на сходство (5.104),
(5.107) и (5.108), с одной стороны, и (2.404) [или (2.410)],
(2.406), (2.407) и (2.409)-с другой.
Выясним теперь физический смысл Н. Еще раз допустим, что кинетическая
энергия Т - однородная квадратичная функция cjb и что потенциальная
энергия U совсем не зависит от qk. Из теоремы Эйлера об однородных
функциях мы получим!
cl от . Vi а: .
из (5.104') и (2.235)
к
откуда видно, что Н - это просто полная энергия, выраженная через
переменные рк и qk.
Если Н не зависит от времени явно, то из (5.108) непосредственно
вытекает, что энергия является интегралом движения,
Могут спросить, в чем значение канонических уравнений движения. Здесь
можно сослаться на два обстоятельства. Первое из них заключается в том,
что квантовая механика (как старая квантовая механика, так и современная
- волновая или матричная) основывается скорее на гамильтоновом
формализме, чем на лагранжевом; следует отметить, однако, что лагранжев
формализм оказывается чрезвычайно полезным для полевой теории. Второе же
обстоятельство состоит в том, что формализм Гамильтона особенно удобен
для теории возмущений, т. е. для рассмотрения таких систем, для которых
невозможно получить точные решения уравнений движения. Поскольку такие
системы являются скорее правилом, чем исключением, то очевидно, что для
теории возмущений имеется необъятная область применения - как в
классической, так и в квантовой механике. Мы вернемся к теории возмущений
в гл. 7, но в оставшейся части этой главы и в следующей главе мы
подготовим весь формальный аппарат, необходимый для того, чтобы перейти к
теории возмущений. Наконец, нельзя не упомянуть и тот факт, что
статистическая механика широко использует гамильтонов подход; 2я-мерное
(р, ^-пространство в статистической механике называется фазовым
пространством.
Из того обстоятельства, что уравнения Лагранжа инвариантны относительно
преобразований от одной совокупности переменных qk к другой q'k [см.
(2.309)], немедленно вытекает, что если определить р* согласно формуле
то уравнения движения, записанные через переменные
dH
dt
k к
126
q'k, pL будут иметь вид:
Теперь, когда для описания нашей системы выбрана совокупность 2s
координат, безусловно существуют более общие преобразования от одной
совокупности координат к другой. Такими преобразованиями мы займемся в
следующем параграфе.
§ 5.2. Канонические преобразования
Очень часто найти решения уравнений движения (5.108) оказывается
невозможным. Одним из возможных способов упрощения уравнений может быть
преобразование от совокупности переменных рк и qk к другой совокупности
переменных, скажем, ак и р* (k = 1, 2, ..., s). Если окажется, что в
новых переменных уравнения движения проще, мы должны считать это за
успех. Мы не станем заниматься всеми возможными преобразованиями, а
ограничимся лишь каноническими или контактными преобразованиями, которые
определяются как такие преобразования, которые и в новых переменных
оставляют уравнения движения в канонической форме. Итак, если уравнениями
задаются канонические преобразования от переменных р и q к переменным а,
р, то уравнения движения, записанные через переменные а и р, должны иметь
вид
где через Н обозначен гамильтониан (энергия), выраженный в переменных
аир.
Нетрудно найти простые примеры канонических преобразований. Такие
преобразования, как
Рп = Ри (а, Р), qk = qk(a,fj) (5.201)
- 1IL
'* йак '
(5.202)
Qk = ak. Pit -¦ - Pa
или же
qk--= - aI{, рл = Рл.
очевидно, являются каноническими.
Точно так же точечные преобразования
(5.203)
127
оказываются каноническими, как мы убедились в этом в конце предыдущего
параграфа.
Теперь мы покажем, что необходимых; п достаточным условием того, чтобы
преобразование от рк и q<, к переменным ak и р* было каноническим,
является существование такой функции W (qk, р/() от qk и Ра-, что
OW dW /г "л,
(о.204.
Для доказательства димостн мы прежде всего
вспоминаем, что из основ i rj i 1 вариаций вытекает равенство
б - _ Л 6U7 = О
dt di
которое можно развернуть следующим образом:
- VJ/VVfr -f -i- 2] cik6fa. - У] Рд5ссл, = 0.
к к к к
Пз уравнений (5.108) можно получить:
- Ttfhbqi, л- У] №Рк ^ ЬИ,
к к
а сопоставляя (5,206) п (5.207), мы находим:
т = 6/7 = - V + 2] М"ь
к к
- выражение, из которого сразу же следуют уравнения (5.202),
поскольку Н и Н - это одна н та же функция, не выраженная через разные
переменные.
Мы должны теперь показать, что если преобразования канонические, то можно
найти функцию W (q, р) такую, что удовлетворяются уравнения (5.204). Зти
