Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хаар Д.Т. -> "Основы гамильтоновой механики " -> 38

Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.

Хаар Д.Т. Основы гамильтоновой механики — М.: Наука, 1974. — 224 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovigamiltonovoymehaniki1974.pdf
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 70 >> Следующая

оси симметрии, В некоторый момент времени одна из точек окружности
основания конуса закрепляется. Доказать, что ось, вокруг которой будет
вращаться конус, составляет угол р с осью конуса, причем |3 = 5 tg а/(2 +
3 tg2 а).
7. На сферу радиуса а и массы At помещены грузы так, что Центр масс
системы по-прежнему совпадает с центром сферы, но главные моменты инерции
равны уже А, А, С, Показать, что воз. можно устойчивое движение, при
котором сфера катится по шероховатой горизонтальной плоскости, так что
ось С (т. е. та ось, которой соответствует момент инерции С) наклонена
под постоянным
119
углом а и с постоянной угловой скоростью прецессии со описывает конус
вокруг вертикальной осп, проходящей на расстоянии с от центра сферы.
Найти компоненту угловой скорости со вдоль осп С для этого устойчивого
движения.
8. Один конец оси симметричного волчка закреплен, а другой свободно
скользит по легкому направляющему желобу, выполненному в форме
окружности, лежащей в вертикальной плоскости с центром в точке, где
находится закрепленный конец оси; эта окружность может вращаться вокруг
вертикального диаметра, который неподвижен. Показать, что если желоб
вращается относительно своего неподвижного вертикального диаметра с
постоянной угловой скоростью и, то (/( = const)
Здесь С - аксиальный момент инерции волчка; п - угловая скорость;
О - соответствующий угол Эйлера.
Показать, что можно выбрать начальные условия таким образом, что в
монотонно уменьшается от своего начального значения а (> 0) и стремится к
нулю при t-* со. Найти В как функцию времени для этого случая.
9. Симметричный волчок, масса которого равна М, расстояние центра масс
от точки опоры Л, аксиальны" момент инерции С и поперечный момент инерции
А, вращается на шероховатой горизонтальной плоскости. Его ось составляет
угол 60 (60 =?4=0) с вертикалью, ориентированной вверх. Задана угловая
скорость волчка п относительно его оси, причем С2л2 4AMgh. Показать, что
центр масс опускается вниз примерно на расстояние 2Mgh?A sin2 е0/С2л2 и
что наблюдается прецессия волчка с угловой скоростью
10. Круговой диск радиуса а вращается на гладком столе вокруг
вертикального диаметра. Найти условие устойчивости движения.
11. Тонкий диск радиуса а и массы т вращается с угловой скоростью со
вокруг нормали, проходящей через его центр, который закреплен. Показать,
что небольшое возмущение движения диска приведет к тому, что ось диска
начнет прецессировать с частотой со в системе отсчета, связанной с телом,
и с частотой 2ш в лабораторной системе.
Допустив, что движение возмущено конечным моментом импульса J
относительно диаметра, найти максимальный угол отклонения осн.
12. Тонкий круговой диск радиуса а катится по шероховатому
горизонтальному столу. Пусть В и г)) -угловые координаты его оси,
отнесенные к вертикали и заданной вертикальной плоскости, ал - угловая
скорость диска относительно его оси. Найти уравнения движения для величин
В, -ф и п.
Найти условия устойчивости движения диска, если Диску сообщено вращение с
угловой скоростью со относительно вертикального диаметра.
ЛО2 = К+ 2 [Ста - Mgh) cos в - Лш2 cos2 в.
120
(5.102) и определением (5.103), мы убедимся, что
б/- = 21г+lit8г* " 2PAlk+2 (5-106)
k к k к
таи что
б и - У] r,fipu - ^pifiqu = 2 4/^Р* - Pkbqu. (5.107)
k к к к Отсюда следует, что
Л-тк- (5Л08)
Полученные уравнения движения называются уравнениями Гамильтона или
каноническими уравнениями движения.
При выводе уравнений (5.108) мы все время пользовались, пока это было
возможно, совокупностью координат qb, rh, чтобы подчеркнуть тот факт, что
мы оперируем с набором 2s независимых переменных. Очень часто, когда
излагают теорию уравнений Лагранжа и уравнений Гамильтона, на это
обстоятельство не обращают должного внимания, и вместо (5.104), (5.105) и
(5.106) можно увидеть:
(5.104')
<5-105')
U к
bL=2 TqTб<?/г+2 w =2^е<?л+2 р'^к- ¦108^
к ' к к Т
Фактически и мы воспользуемся этими выражениями, когда перейдем к
рассмотрению гамильтоновского формализма для сплошных сред (гл. 8). Кроме
того, мы повсюду предполагаем, что L не зависит от времени явно; если это
так, то это будет справедливо и по отношению к Н.
Мы хотели бы обратить внимание на сходство (5.104),
(5.107) и (5.108), с одной стороны, и (2.404) [или (2.410)],
(2.406), (2.407) и (2.409)-с другой.
Выясним теперь физический смысл Н. Еще раз допустим, что кинетическая
энергия Т- однородная квадратичная функция qk и что потенциальная энергия
U совсем не зависит от с\и. Из теоремы Эйлера об однородных функциях мы
получим!
?1 дт . V dL .
19. Частица массы т может свободно перемещаться по гладкому
горизонтальному столу, закрепленному на поверхности Земли на
широте X. Движение происходит в потенциальном поле U = тргг2,
где через г обозначено расстояние от точки О, В момент времени t = 0
частице, находящейся в точке О, сообщается скорость и. Показать, что при
подходящем выборе полярных координат уравнение траектории частицы будет
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 70 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed