Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.
Скачать (прямая ссылка):
если Л будет наибольшим или наименьшим из трех главных моментов инерции.
Вращения вокруг двух главных осей, соответствующих наибольшему и
наименьшему моментам инерции, являются, таким образом, устойчивыми
равновесными вращениями, тогда как вращение вокруг третьей главной оси, с
которой связан промежуточный главный момент инерции, является
неустойчивым равновесным движением.
Второй частный случай, который нас интересует,-это случай, когда А=ВфС.
Последнее уравнение (4.207) становится совсем простым:
С г = 0, или г = const = г". (4.215)
Полагая А -В в первых двух уравнениях, получим:
Ap + (C-A)qr0 = 0,
А4 + (А-С)рГ'-0. ,4'Л6>
Решения (4.216) имеют вид:
p = p0cos[(C- А)гйЦА). о 17\
<7 = <70sin[(C- А)г^/А]. { '
Полученное решение дает прецессию вектора о вокруг оси Z. Это можно
усмотреть также, записав уравнение движения в виде;
й = - [О, <в], (4.218)
где й - вектор с компонентами 0, 0 и (С - Л)г0/Л.
Земля дает нам хороший пример тела, для которого Л =5. Для Земли (С -
Л)/Л составляет около 1/300,
а г0 имеет порядок 1 сутки-1. Таким образом, период
прецессии составляет около одного года.
Теперь мы займемся некоторыми случаями, когда уже есть моменты сил.
Первый из них - тяжелый симметричный волчок. Имеется в виду тело, у
которого А -В, а одна из точек оси симметрии закреплена. Если обозначить
через / расстояние между точкой закрепления и центром масс волчка, через
т. - массу волчка, потенциальная
108
энергия волчка запишется в виде:
U = W cos 0, W - mgl, (4.219)
где g - ускорение силы тяжести (которое в этой задаче считается
константой) и где ось г направлена по вертикали, так что 0 будет одним из
эйлеровских углов. Кинетическая энергия волчка запишется в форме:
Г = ~ А (р* + 9*)+102, (4.220)
или же, если воспользоваться (4.103),
7=1 А (62 + Ф2sin20) + ~ С (фcos 9-f if-)2. (4.221)
Лагранжиан задачи теперь уже выглядит так:
L - ~ А ф1 + Ф2 sin2 0) + 1 С (ф cos 0 + if - W cos 9,
(4.222)
и мы сразу обнаруживаем в нем две циклические координаты ср и ty, так что
рф = const = С (ф cos 0 + ф), /а ооъ
рф = const = Лфsin20 + Ceos0 (cpcosВ+'-ф). '
Первое из этих уравнений эквивалентно равенству Cr - const, которое
следует из последнего уравнения Эйлера, поскольку А=В и 0^3 = 0.
В задачу входят три степени свободы, и следует ожидать шесть постоянных
интегрирования. Две из них мы уже нашли, это и рф, а третьей будет
энергия Е:
Е = -\ А (б2 + ф2 sin2 0) -I- ~ С (ф cos G + ^)2 + W cos 0.
(4.224)
С помощью (4.223) можно исключить ф и ф:
^+('',г7Г-Г>;+§+C7cose- <4-225>
Последнее уравнение может быть проинтегрировано:
z(t)
^ \f(z)\~U2dz, (4,226)
2(0)
где введены обозначения
f (z) = 0 - ?) (" ~ az) - (Р - Ьг)*, (л оо?\
САа = 2СЕ - pi, Лр = рф, Аа = 2157, АЬ - рф, '
109
а также
z = cos G.
(4.228)
В принципе из уравнения (4.226) можно найти 0 в зависимости от временя.
Из (4.223) мы можем уже найти Ф и 'ф как функции времени. Все три угла
выражаются через эллиптические интегралы. Не так уж интересно обсуждение
полного решения во всех деталях, по физический смысл решения можно понять
из (4.226). Функция f(z) представляет собой кубический полипом
относительно г, и ее поведение видно на рис. 20. Из (4,228) следует, что
значения г лежат в интервале между -1 и 4-1. В этих точках функция f (г)
не положительна [см, (4.227)].
Рис. 20. График функини f (г), определенной согласно (4-227).
Из (4.226) следует, что . (г) не может быть отрицателе ной с физической
точки зрения. Но это значит, что значения г лежат между значениями гх и
г2 или что значения 0 заключены в соответствуют,их пределах и 6.,: ось
волчка обнаруживает нутацию. Физически возможные пределы изменения г
часто оказываются еще более ограниченными, чем это предполагалось до сих
пор во всех наших рассуждениях. Если, например, мы имеем дело с обычным
волчком на столе, то угол 0 всегда должен быть меньше л/2 и г должно быть
положительным.
В общем случае ф не равно пулю; это соответствует прецессии волчка.
Возможное движение иллюстрируется на рис. 21. Пересечение оси волчка со
сферой, центр которой находится в точке закрепления волчка, описывает
некоторую кривую типа изображенного на рис. 21. Окружность ABC
соответствует углу 0 = 02, а окружность DEF - углу 0 = 0Х.
Ось Земли обнаруживает и нутацию, и прецессию. В этом случае вращательные
моменты, действующие на земную ось, обусловлены силами притяжения со
стороны Солнца и Луны. Для начала мы рассмотрим только влияние Солнца,
Решение задачи удобно проводить, исходя
ПО
из уравнения движения, промежуточного между уравнениями Эйлера (4.207) и
уравнениями (4.112). Вместо того чтобы пользоваться системой координатных
осей, неподвижных в пространстве, (4.112), или же жестко связанных с
Землей, (4.207), мы воспользуемся несколько иной системой (см. рис. 22):
ось ? направляется вдоль оси Земли, ось | -вдоль линии узлов, т. е.
пересечения экваториальной плоскости Земли с плоскостью орбиты Земли при
ее движении вокруг Солнца (эта плоскость, называемая плоскостью
