Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хаар Д.Т. -> "Основы гамильтоновой механики " -> 37

Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.

Хаар Д.Т. Основы гамильтоновой механики — М.: Наука, 1974. — 224 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovigamiltonovoymehaniki1974.pdf
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 70 >> Следующая

частица падает из точки, где линейная скорость в направлении запад -
восток была больше, чем на Земле.
Второй пример -это маятник, обладающий двумя степенями свободы. Наиболее
строгий метод решения этой задачи - рассмотрение сферического маятника и
решение уравнений Лагранжа для этого случая. Однако из геометрии задачи
видно, что производная z должна быть величиной второго порядка малости,
если пользоваться приближением малых колебаний (z будет отличаться от
своего равновесного значения только на величину, содержащую квадрат
амплитуды). Кроме того, из теории простого маятника можно ожидать, что
величины FJtn и FJrn будут равны соответственно -gx/t и - gy/l, где через
I обозначена длина маятника. Если пренебречь г во втором из уравнений
(4.304), первые два уравнения той же системы дадут:
х - 2Q siiiфу - - gx!l. и-J- 2Й sin ф х г= - gy/l. (4.308)
Заметим, что (4.308) сводятся к уравнениям движения обычного маятника,
если положить ?2 = 0.
Решение системы (4.308) дает простое гармоническое колебание, но такое,
что плоскость колебаний равномерно поворачивается с угловой скоростью
Qsin<p. Это видно сразу же, если ввести систему координат х', у',
вращающуюся с угловой скоростью Q sin ф относительно системы х, у. Если
поступить таким образом, члены, про-
117
порциональные Q, исчезают. Другими словами: эти члены являются двумерными
аналогами ускорения Кориолиса.
Аналитически можно найти решение, если ввести комплексную переменную
и =----¦ х }- iy. (4.309)
Через эту переменную система (4.308) запишется в виде:
и + 2iQ sin ф и + gu/l = 0.
(4.310)
Если искать решение в форме
и=*Аеш, (4.311)
то, пренебрегая членами, содержащими ?22, мы получим:
ш = ± ш0 - Й sin ф,
О)о = (^/01/2,
(4.312)
или же
Рис. 24. Опыт Фуко с маятником. Эллипс III -та самая кривая, которую
описывает нижняя точка маятника.
(Ае1(r)** 4_ gg- IQ sin ф/_
(4.313)
Сумма, стоящая в скобках, представляет эллиптическую орбиту (см. рис.
24): член Aeia>°' соответствует движению по кругу I, член Be-(r)** -
движению по кругу И в обратном направлении. Эллипс III представляет собой
сумму двух первых движений. Множитель e-"Bsin<p< показывает, что этот
эллипс вращается по часовой стрелке С УГЛОВОЙ СКОРОСТЬЮ йвШф.
Такое вращение плоскости колебаний маятника было экспериментально
показано Фуко в его знаменитом эксперименте 1851 г. в Пантеоне. За этот
опыт Фуко получил в 1855 г. медаль Копли от Королевского Общества.
ЗАДАЧИ
1. Твердое тело, способное свободно вращаться около фиксированной
точки О, находится в покое, когда на него действует импульсная пара сил
*) с компонентами е, г, I вдоль главных осей инерции тела
*) Импульсной парой называется вращающий момент, действую
щий в течение бесконечно малого промежутка времеии: вращающий момент =
постояннон х б (t - tu), где через ta обозначен момент времени, когда
прилагается вращающий момент.
118
в точке О; предполагается, что г.-малая величина. Предполагая, что С > В
> А, показать, что наклон мгновенной оси вращения относительно оси С в
последующем движении с точностью до первого порядка по е всегда меньше
или равен кг, где к - число, зависящее только от отношений С/А и В;А.
Найти число к, если С = ЗЛ и В - 2А.
2. Главные моменты инерции твердого тела относительно некото-
рой заданно!! точки равны А, В и С (,4 < В<С), а соответствующие
компоненты угловой скорости - coj, <о2 и (о3. Показать, что выражения А
(С-А) ьУ,В (С--В) ш ', и С (С - A) u;; + В (В -А) мН являются интегралами
движения. Допустив, что эти интегралы выражены через отношение С-В к В -
А и, кроме того, заданы начальные условия для щ: tOj - а>о и d>j-О при
t=- 0, найти зависимость %
от времени.
3. Пользуясь функцией Рауса, исключить циклические координаты для
случая симметричного волчка, вращающегося вокруг неподвижной точки, и
получить дифференциальное уравнение, являющееся уравнением движения для
нециклических координат.
4. Пусть Г-кинетическая энергия вращающегося твердого тела, a J-
величина его момента импульса [ср. выражения (4.208) и (4.209);.
Доказать, что если ./2 = 2ГС(1 -|-е), где е-шмая величина, н если А~>
В>С, то и со2 совершают простые гармонические колебания. Рассчитать
период этого движения и найти поправку с точностью до членов,
пропорциональных У е , к амплитуде колебаний с частотой (uj.
5. Рассмотреть волчок массы М, центр масс которого при вертикальном
положении волчка находится на высоте А; аксиальный момент инерции волчка
равен С, поперечный момент инерции Л; волчок врыциется на шероховатой
плоскости, ось волчка направлена по вертикали, п - угловая скорость
волчка.
Показать, что если С2п2 < 4AA4gh, то возможным движением вблизи вертикали
будет движение, при котором проекция центра масс волчка на горизонтальную
плоскость приблизительно описывается уравнением логарифмической спирали:
У 4AMgh - C2n2 , = ,оехр-------------
6. Твердый однородный прямой круговой конус массы М и высотой h имеет
при вершине угол полураствора а. Конус свободно вращается вокруг своей
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 70 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed