Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.
Скачать (прямая ссылка):
где
С0= 1/Т. (5.413)
Здесь нужно сослаться также на обсуждение вопроса о переменных действие -
угол, которое можно найти в § 6.2.
Второй случай, когда использование (5.406) оказывается удобным, возникает
тогда, когда сравниваются две траектории, соответствующие одной и той же
энергии (8Е = 0), обладающие одной и той же начальной и конечной точками
[Дл:; = 0, / = /j или / = /2; обратите внимание на то, что две эти
конечные точки достигаются вовсе не в одно и то же время иа исходной и
новой траекториях: сравните рассуждения, связанные с формулой
(5.406)]. В этом случае мы приходим к принципу наименьшего действия:
81 = 0, если б? = 0 и Дд*г = 0 для t = tx и t = t".
(5.414)
Мы пришли к выводу, что если сравнить две чуть-чуть отличающиеся
траектории с теми же самыми конечными точками, то возникают две
возможности:
(I) если время не варьируется, то
б J L dt = 0;
(II) если энергия не варьируется, то
б J'27V/ = 0.
Мы уже видели, как получаются уравнения Лагранжа из первого вариационного
принципа; сейчас мы обнаружим связь между вторым вариационным принципом и
каноническими уравнениями движения.
Для выявления этой связи мы покажем, что канонические уравнения движения
эквивалентны вариационному
146
принципу:
9
<5 J 2 Рь = 0 (6qk = 0, 6pk = 0 в конечных точках),
Отличие от принципа наименьшего действия состоит сейчас в том, что
рассматриваются такие вариации, при которых все 2s переменных pk, qk
являются независимыми.
Допустим, что можно ввести параметр и, определяющий положение точки на
траектории, так что 6qk и 6pk окажутся функциями и. Вариацию (5.415)
можно будет записать тогда в виде:
причем полученное соотношение справедливо в любой точке траектории,
другими словами, для любого значения и. Воспользовавшись методом
множителей Лагранжа, мы получим:
Эти выражения определяют направление траектории в 2х-мерном фазовом
пространстве. Если ввести переменную t согласно соотношению
(5.415)
при условии
6Я = 0 в любой точке траектории. (5.416)
J k l
(5.417)
Вариацию (5.416) можно переписать так:
(5.418)
к
(5.41Э)
или же
же
U
dt = к(и) du, или ^ = u)du, (5.421)
147
выражения (5.420) превратятся в канонические уравнения движения:
dQk___дЯ йрь ___ _дН int)\
dt - dpk' dt ~ dqk- колл)
Связь с принципом наименьшего действия становится даже еще более
прозрачной, если мы напишем [ср. (5.109)]:
Y1Pkdqk = Ylpkqkdt=^2T dt. (5.423)
k k
Мы завершим эту главу, рассказав, как можно ввести время и энергию (с
отрицательным знаком) в качестве канонически сопряженных переменных. Для
этих рассуждений нам придется отбросить то ограничение, которого
мы до сих пор придерживались, а именно считать, что
гамильтониан уже может содержать время t явно. Нетрудно убедиться, что в
этом случае канонические уравнения движения (5.108) по-прежнему
справедливы, но что вместо (5.111) мы получим теперь:
dH \,(дН . , дН . \ . Oil дН
4t-l[dJkP^bJk^)+ 0'- or <5-424)
к
Наиболее удовлетворительный способ введения времени в качестве одной из
координат q состоит в использовании вариационного принципа Гамильтона в
форме (5.215). Этот вариационный принцип выглядел следующим образом:
2
б
dt = 0, (5.425)
где теперь уже рк и qk образуют совокупность 2s независимых переменных.
Мы введем сейчас функцию р9,
а также изменим переменную интегрирования, перейдя
от I к и: через и обозначена любая функция времени, которая определяет
положение изображающей точки на траектории в фазовом пространстве. Мы
приходим тогда к вариационному принципу:
6 J {Z PM* + Atfoj du=0, (5.426)
с дополнительным условием
Ро= - Н {pk, qk, <7о>. (5.427}
148
I
Штрихи в (5.426) указывают на дифференцирование по а; кроме того, мы
заменили явно входящую временную координату через q0:
<5-428>
Соотношение (5.427) можно переписать еще и так: Ж =~/?"-(-Я = 0, или 6.7f
= 0. (5.429)
Из (5.426) и (5.429) мы получим уравнения
<5-430>
в точности так же, как из (5.415) и (5.416) следует (5.420). Вводя время
с помощью соотношения (5.421), мы получим из (5.430):
dptf дУС .'дН dc,it, д O' дИ
dt ~ lqh - ~ dqk' dt ~ др"' (5.431)
k=\, .... S,
- выражения, которые являются каноническими уравнениями движения, и
соотношения
Ж *= "ЧГ" " Ь (5.432)
dt dq0 dq0 dt dp0 v '
Из второго уравнения (5.432) видно, что q0 и в самом деле может быть
отождествлено со временем, тогда как ) 13 (5.431) и (5.432) следует, что
п- сколысу в этом выражении уже нет явно входящего времени t (его место
заняла координата qn). Из (5.433) следует, что
Ж - const, (5.434)
и мы можем без всякой потери общности положить эту постоянную равной
нулю, так что р"=-Н. Так как гелнчины рв, q0 выступают точно в такой
роли, как и ьсе остальные pk и qk, мы видим, что на самом деле
- Н ( - р0) является величиной, канонически сопряженной с t (= q0).
Для нерелятивистской механики этот результат не очень существен, однако
он имеет огромное значение для релятивистской механики, где время
выступает
149
уже на равных правах с пространственными координатами.
