Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хаар Д.Т. -> "Основы гамильтоновой механики " -> 44

Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.

Хаар Д.Т. Основы гамильтоновой механики — М.: Наука, 1974. — 224 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovigamiltonovoymehaniki1974.pdf
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 70 >> Следующая

формуле
Координаты qk", которые мы хотим найти,-это углы; соответствующие
интегралы движения - компоненты момента импульса. В рассматриваемом
случае мы имеем прежде всего:
где через обозначен символический вектор с компонентами djdpxi, д/dpyi,
d/dpzh а также учтен тог факт, что в декартовых координатах гамильтониан
Н содержит импульсы Pi лишь в комбинациях рЦ2т, так что VPiH = = Pilmi.
Вместо (5.334) мы получим теперь:
Из того, что 6/7 = 0 для любого е, вытекает, что {М, Н\ = ~ 0, так что
три компоненты вектора полного момента импульса М будут интегралами
движения, если гамильтониан Н инвариантен относительно вращений.
Выясним сейчас, в каком смысле про момент импульса М можно сказать, что
он порождает вращения. Для дальнейших рассуждений полезно найти изменение
6/ функции f{Xi, Pi) при преобразовании (5.336). Для величины
А--"-;?/+ [8, Pi], 1 = 1, N. (5.3366)
I i J i
+1] FptH, Pi]=-2 [Xi, ЪН], (5.337)
sн = 2] ([8, Xi] ¦ XiH) + 2] ([8, Pi] ¦ VptH)
(5.338)
139
мы на холим:
б/ = ?(6хгЧ,Г) +5(бЛ-^0 =
= 5 ([в. ^]-V,/)V5([B. Aj •?,,</) =
-('"¦St** */Л', + (*• 21а. 'v,/],==
< I \ с /
= (к-{/, /И}). (5.339)
Допустим на мгновение, что гамильтониан И инвариантен как по отношению к
трансляциям, так и по отношению к вращениям. Пусть мы нашли, что
интегралами движения являются Мх, Му и Рх. Тогда можно воспользоваться
результатом, полученным нами ранее, а именно тем, что скобки Пуассона
двух интегралов движения снова дают интеграл движения; комбинируя этот
результат с (5.325), мы докажем, что компонента М2 должна •'¦ыть также
интегралом движения, а в сочетании с (5.327) :лы докажем, что Р,, и тогда
уже и Р", также должны Сыть интегралами движения. Таким образом, мы
выяснили, что если две компоненты вектора момента импульса являются
интегралами движения, то третья компонента также будет интегралом
движения. Но это не верно для нектора импульса, поскольку {Рх, Ру)- 0.
Коль скоро мы нашли Рх, Ру, Pz, Мх, Му, Мг, мы исчерпали все возможности
полностью. Никаких новых интегралов движения из скобок Пуассона,
содержащих шесть этих вели-шн, получить уже нельзя.
Из того, что {Мх, My\=Mz, и из соотношения \Pu>Pi)-0 вытекает, что две
компоненты вектора момента импульса не могут быть одновременно
каноническими импульсами. С другой стороны, {М2, 714*} = 0, так что
абсолютная величина полного момента импульса может быть каноническим
импульсом одновременно с одной из своих компонент (ср. задачу о движении
в поле центральной силы, § 2.3, и хорошо известную ситуацию з квантовой
механике).
В предыдущем параграфе мы видели, что производящая функция
S^^akqh (5.340)
к
приводит к тождественным преобразованиям, т. е.
рп ----- дЛ- = "а, Р/< = == Як- (5.341)
о:/;,, a <xk
i40
Рассмотрим теперь бесконечно малые преобразования, порождаемые функцией
S = ^]ahqk + ef(a, q), (5.342)
h
где 8-бесконечно малая величина, а / - произвольная функция а", и qh.
Преобразование, порождаемое функцией (5.342), имеет вид:
р* = ос* + е-|^, P" = 7* + e-j~, (5-343)
так что с точностью до первого порядка по е оно эквивалентно
преобразованию:
ак = рк-г df^ q) , = <?*-!. (5.344)
Теперь мы займемся несколькими специальными случаями бесконечно малых
преобразований. Первый интересующий нас случай возникает, если е = й/ и f
= Н (a, q), где Н - гамильтониан системы, Тогда из (5.344) мы имеем:
рЛ - Як = 6?* = щ - рк = 6/7;; = _ б/ ; (5.345)
другими словами: гамильтониан порождает движение
системы в фазовом пространстве во времени.
В качестве второго частного случая мы выберем / "------ (п ¦ Р (а)), где
Р (Pi) - полный импульс системы, определяемый согласно (5.328), и где а -
векторы, связанные с Pi точно так же, как ак связаны с pk. Выражение для
/ может быть записано еще и так:
f=(n-P(а)) = (п ¦ J "/j (5.346)
I i /
и мы получим из (5.344):
Рг-=^ + е, (5.347)
где ъ - гп и где Р; - векторы, канонически сопряженные с at. Выражения
(5.347) совпадают с соотношениями (5.332), которые описывают трансляции.
Последний пример получится, если положить
f=(n-M (a, x)) = (n-J][xh ailj, (5.348)
где М - полный момент импульса, определяемый согласно
(5.324). Из (5.344) мы получим теперь:
а,-=А + [8. Pi], Pi = ^i+[e, xt], (5.349)
HI
где опять же е = е/г. Выражения (5.349) совпадают с (5.336) и
соответствуют, таким образом, вращению.
Только что проведенные рассуждения разъясняют, что мы имели в виду, когда
утверждали, что полный импульс и полный момент импульса порождают
соответственно трансляции и вращения.
Изменение произвольной функции F (р, q) от pk и qk при преобразованиях,
порождаемых функцией 5 (5.342), определяется равенством
<5-350>
к
Можно сравнить это выражение с (5.335) и (5.339), которые получаются
подстановкой выражений (5.346) и (5.348) для f соответственно в (5.350) с
учетом того, что е = егг.
Интересный частный случай получится, если подставить в (5.350) вместо
функции F гамильтониан Н. Мы получим тогда:
б H = e{H,f}, (5.351)
и мы видим, что любой интеграл движения порождает бесконечно малые
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 70 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed