Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.
Скачать (прямая ссылка):
уравнения, конечно, и определяют само преобразование.
Для того чтобы найти функцию W (q, р), мы покажем сначала, как получаются
канонические уравнения движения из модифицированного принципа Гамильтона,
а именно из условия
L dl - extremum, (5.209)
где теперь, в отличие от исходного соотношения (2.234), подинтегральпое
выражение считается функцией 2s переменных. Снова вводя переменные гк,
чтобы подчеркнуть этот
(5.205)
(5.206)
(5.207)
(5.208)
факт, опять рассматривается задача об экстремуме интеграла
6$L(<7ft, rk)rit*= 0, (5.210)
гдр (5.1П1) п-к тупают как дополнительные условия.
В гл. 2 мы уже сталкивались с тел, как нужно пользоваться методом
неопределенных множителей Лагранжа, чтобы решать вариационные задачи с
дополнительными условиями. Однако сейчас возникают некоторые осложнения,
и мы рассмотрим всю процедуру в деталях. Если мы подробно распишем
(5.210), мы найдем под знаком интеграла вариации 8qk и б/*, которые
теперь уже будут функциями 1\ поэтому мы явно отметим эту зависимость,
написав bqk (/) н 8гк (/). Эти функции времени не независимы; они должны
удовлетворять условию
= (5.211)
где, так же как и б гл. 2, через 6qk обозначены производные по времени от
6qk. От ограничений, наложенных на вариации 8qk и бгк, можно избавиться
обычным путем, умножая левую часть каждого из s уравнений (5.511) на
множитель кк, зависящий от времени, затем складывая эти выражения и
добавляя полученную сумму к под-ннтегральному выражению в (5.210). Таким
образом мы приходим к новой задаче на экстремум:
clt - 0. (5.212)
Теперь уже вариации q" и rk могут рассматриваться как независимые, и, как
это следует из выражения длс коэффициентов перед бrh,
(5.213)
drk
Следовательно, (5.212) перепишется так:
6
dt = 0. (5.214)
Воспользовавшись (5.103) и (5.104), мы обнаруживаем, что пришли к
вариационному принципу:
<5$ = (5.215)
Д. т*р Хавр 18#
где подннтегральная функция зависит от 2s переменных рк и qk и где qk -
функции тех же самых переменных, определяемые уравнениями
(5.216)
Расписывая явно вариацию подинтегрального выражения в (5.215), интегрируя
члены, содержащие bqk, по частям и принимая во внимание, что благодаря
(2.306) проинтегрированные члены обращаются в нуль, мы получим:
\ 2 [(<* - Л) - (*+ЭЧ<5-2|7>
k
откуда п вытекают уравнения (5.108). Мы показали таким образом, что
вариационный принцип (5.215) эквивалентен каноническим уравнениям
движения (5.108).
Если преобразование от переменных pk, qk к переменным а*, каноническое,
то вариационный принцип (5.215) должен вести к тем же самым уравнениям,
но уже в переменных ак и рй:
где Н - та же самая функция, что и Н, но выраженная уже через переменные
ак и р*. Уравнения (5.215) и
(5.218) могут быть одновременно справедливыми только при условии
ciyPkqk-H\ = ^a^k-H^^tW{q, Р), (5.219)
где С -отличная от нуля постоянная. Поскольку Н=Н, то и уравнения (5.204)
удовлетворяются; тем самым доказательство завершено.
Функция W (q, Р) называется производящей (порождающей) функцией, так как
уравнения (5.204) порождают канонические преобразования. Можно
рассмотреть другие порождающие функции. Фактически существуют четыре
различные комбинации двух наборов s переменных: qk, рй; qk, ak\ pk, Р* и
pk, ak, которые очевидным образом подходят для нашей цели. Четыре
произво-
(5.218)
*
к
130
дящие функции и соответствующие уравнения, определяющие преобразования
переменных, мы здесь выпишем!
Мы привели здесь также соотношения между соответствующей производящей
функцией и функцией W, которая согласно теореме, доказанной в начале
этого параграфа, всегда существует для любого канонического
преобразования.
Преобразования, определяемые согласно (5.220), являются примерами
преобразований Лежандра, играющих важную роль в термодинамике.
Рассмотрим несколько весьма простых преобразований;
именно это преобразование и было кратко рассмотрено в начале этого
параграфа; оно приводит к совокупности переменных, в которой "старые"
импульсы превращаются в "новые" координаты, а старые координаты
превращаются в новые импульсы. Из этого преобразования видно,
б* 131
(a): W(qk, Р*); Р*=^,
(b): S(qk, ak)\ Pk = ^~,
W^U + ^pkqk-^ сс*Р*.
k
k
(5.220)
k
k
(III) U = ^pk ak\
(5.221)
k
k
Из первого преобразования вытекает, что
Pk - Pftj Qk -
(5.222)
что едва ли имеет смысл придерживаться терминов "импульсы" н "координаты"
для величин сс* н $к. Куда лучше называть их канонически сопряженными
переменными.
Обратим внимание на то, что для преобразования (5.222) не существует
производящей функции Т. Из
(5.220) и (5.222) непосредственно следует, что в этом случае Т '-¦¦¦-
0.
Второе преобразование -это тождественное преобразование
В этом случае мы найдем, что U7 == 0. Это в точности такое же
преобразование, какое порождается функцией
совпадает с первым.
Последнее преобразование точечное, так же как и преобразование (5.203),
Мы не станем рассматривать здесь никаких других преобразований, потому
