Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.
Скачать (прямая ссылка):
эклиптики, конечно, в той же степени является и плоскостью солнечной
орбиты при движении Солнца вокруг Земли; для обсуждаемой темы удобнее
Рис. 21. Нутация и прецессия тяжелого симметричного волчка.
Рис. 22. Орбита Солнца вокруг Земли. Е-центр Земли, S - некоторое
положение Солнца на его орбите вокруг Земли, ?Q-линия узлов.
именно последняя точка зрения). Что касается оси т|, то она выбирается
так, чтобы оси ?, г), | составляли правую тройку ортогональных осей.
Уравнения движения запишутся теперь так:
/+ ["#", /]=^, (4.229)
где через <о0 обозначен вектор угловой скорости осей ?, г) и ?
(компоненты этого вектора в системе |, г), ? мы обозначим через а>|, и
со?). Поскольку ось ? направлена по оси симметрии Земли, справедливо
соотношение
(4.120), и можно написать:
Jt = Ap, Jn = Aq, Jz = Cr, (4.230)
где мы считаем, что В = А, а р, q и г - компоненты угловой скорости
Земли.
111
Компоненты момента силы можно найти по формуле
F), (4.231)
где X - радиус-вектор Солнца, записанный в системе 1,
т|, ? (его компонентами будут A', Y, Z), a F - сила, действующая со
стороны Солнца на Землю. Для того чтобы определить F, мы замечаем, что
она может бьпь записана в виде:
F=VxU{X), (4.232)
где U - гравитационный потенциал, создаваемый Землей,
V7 д д д 0
a vх- вектор градиеита с компонентами ^, jz. Записывая (4.232), мы
использовали третий закон Ньютона. Потенциал U определяется интегралом:
U (X) = ~ GM \ . (4.233)
• J | А----Л |
где р (х) - плотность вещества в точке х где-то внутри Земли, G -
гравитационная постоянная, а Л!..- масса Солнца. Разлагая модуль [х - Хj-
1 по степеням \x'Js Xх, мы получим с точностью до членов порядка R'3 (/?
= { А\):
GMM ------*-*• +
GM
где через М обозначена масса Земли, а коэффициент:,! а п у определяются
по формулам
а - } рх* d?x - J pif (Рх, у = J рг- <Рх, (4.235)
Используя соотношения
A~B = а-[-у, С = 2а, (4.235)
мы получим:
GMM-. А'3 Y- - 27.-
----- __ GMv: (С - А) --------. (4.237)
Первый член на дает вклада в а из второго члена
с помощью (4.231), (4.232) и (4.237) можно получить:
ЗОЛ!(С - A) YZ 3GM , (А - С) XZ
L-, .//s = o.
(4,238)
па
Обозначим через % угол между ES и осью I (т. е. сол нечную долготу; см.
рис. 22), а через б -угол между плоскостью эклиптики и экваториальной
плоскостью. Тогда, принимая во внимание (4.101), можно написать:
X = Rcos%, Y = R$m%cos8, Z = R sin x sin 6. (4.239)
Эти формулы поясняются на рис. 23; последний рисунок аналогичен рис. 18,
если на рис. 18 считать 9 = 6, г|з = "/ и ф = 0; следует, конечно,
помнить, что оси XYZ на рис. 18 жестко связаны с твердым телом, тогда как
теперь только ось ? жестко связана с Землей, а линия узлов вращается в
|т]-плоскости; сами же оси |, т) поворачиваются относительно Земли.
Полагая
К = 3GM .j (С ¦
¦A)!R\
(4.240)
Рис. 23. Положение Солнца на его орбите вокруг Зем/ш определяется углами
б (угол между плоскостью эклиптики и экваториальной плоскостью Земли) и 1
(солнечная долгота).
можно переписать уравнение (4.229) в компонентах следующим образом:
Ар-]- Сга>п - Aqai^ = К sin2 % sin б cos 6,
Aq + Apu>i - CYcoj = К sin х cos х sin б, (4.241)
Сг -f Aqa>^ - Ар(r)ч-= 0.
Чтобы найти компоненты оз0, мы заметим, что единственным различием между
системой осей g, т), ? и системой осей, жестко связанных с главными осями
инерции Земли, будет то, что система ?т)? поворачивается вокруг оси ?
относительно второй системы. Но это значит, что
со ь = р, сor] = q, со г = г - $, (4.242)
т. е. со^фг.
Из третьего уравнения (4.241) и равенств (4.242) следует: г = const = Q,
(4.243)
где через ?2 обозначена угловая скорость суточного вращения Земли.
113
На этой стадии разумно ограничиться приолижепными решениями уравнений
(4.241). Это можно сделать, если вспомнить, что в первом приближении со-
=0, р = 0 и q - 0 (положение земной оси по отношению к плоскости
эклиптики меняется не слишком заметно), так что членами второго порядка
от этих Еелнчин можно пренебречь. В том же самом приближении можно
пренебречь первыми производными по времени от р и q. Действительно, можно
показать, что р и q меньше, чем q или со--, на множитель порядка
отношения периода обращения Солнца вокруг Земли к периоду обращения Земли
вокруг ее собственной оси [см., например, А. Вебстер, Мэханика
материальных точек, твердых, упругих и жидких тел, § 96, ГТТИ, 1933].
Пренебрегая всеми членами высшего порядка, мы получим из двух первых
уравнений (4.241):
р = - {KICQ) sin х cos х sin б, (лоал\
q= (K/CQ) sin2 % sin 6 cos 6.
Из сопоставления рис. 18 и 23 н формул (4.103) следует, что, положив я|;
== 0, 0 = 6,
б = - (K/CQ) sin х cos х sin б, 9ДГ,
ф = (K/CQ) sin2 % cos б.
Правильная аппроксимация требует, чтобы мы записали для солнечной долготы
%:
Х = А0 + < (4-246)
где со соответствует периоду в один год. Заметим, что среднее по времени
от величины 6 дает нуль: в нашем приближении никакого секулярного вклада
в нутацию земной оси нет. Для секулярной прецессии мы получим выражение
