Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хаар Д.Т. -> "Основы гамильтоновой механики " -> 42

Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.

Хаар Д.Т. Основы гамильтоновой механики — М.: Наука, 1974. — 224 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovigamiltonovoymehaniki1974.pdf
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 70 >> Следующая

что в следующей главе нам придется заняться обширным классом
преобразований типа (5.220 Ь).
§ 5.3. Скобки Пуассона и Лагранжа; бесконечно малые преобразования
Канонические уравнения движения (5.108) описывают поведение рк и qk. Из
этих уравнений движения можно найти и уравнение движения для любой
функции F (рк, qk) этих переменных (для простоты мы будем полагать, что
функция F не зависит явиэ от времени). Нетрудно убедиться в том, что
где использованы уравнения (5.108) и принято во вни мание сделанное
предположение о том, что dF/0t - 0.
Qk Рк-
(5.223)
(5.224)
k
Третье преобразование
(5.225)
(5.226)
к
k
132
Если ввести обозначение
I/}> (5
к
(5.3(
Комбинация {/, g} нос 1 it наименование1 скобок и уассоио. Удобство
выражения (5.303) заключается в том, чт~ оно не зависит от выбора
координат, потому что, каг мы сейчас докажем, скобки Пуассона инвариантны
относительно канонических преобразований. В этом пара: рафе мы выведем
некоторые свойства скобок Пуассон;;, а также связанных с ними скобок
Лагранжа, котор/ определяются соотношением
Скобки Лагранжа также инварианты отностельт канонических преобразований.
Сравнивая (5.302) и (5.304), можно заметить, что скобки Лагранжа в
некотором смысл.1 являются обратной величиной скобок Пуассона. Зло
утверждение можно уточнить следующим образом. Нел.: у* (k- 1, 2, ..., 2s)
-набор 2s независимых функций ич /;,v и qk, то можно доказать прямой
подстановкой спра-I;ед.либость равенства
где &И - символы Кронекера, определенные согласие
Вычислим так называемые фундаментальные скобки, т. е. скобки, примененные
к рк и qk. Поскольку рк и q являются независимыми переменными, мы можем
написать:
дрл = б p^Q ^ о, = (5.306:
upl ' diji dpi dqi К
Мз (5.302), (5.304) н (5.306) нетрудно получить, чт..
Равенства (5.307) и (о,308) определяют инвариантное свойство канонических
переменных. Действительно
133
к
}_]1?ь Y<! [т*. V,'i!
и
(3.132).
ivb Р: \ -1 б д./, (//¦ - 0, /):}-= 0; (5.3С, ¦
1ч,, <-7/1 ~0, [рк, р,] --¦* 0. (5.30;/
вычисляя дН (a, $)/dah мы получим!
йП_ _ у ГдН_ дрь , дН_ dqb] _\ Г л д_Р? _ л _
даi Lm \_dpk да,- ' dqk da-t | jLi L da; "к 5а,-j к k
_ V /Г^Pk^Rk _dJk^Pk]& Л_\дРкдЛк _ дЯкдРк\'п 1_
~ L Ц даг <50, дщ д§, \ [ да; да, да,- да,-\ ~
к, /
= 2] №у, "J Ру + 2] ["/, "Л "" (5.309)
/ /
откуда сравнением (5.309) с (5.202) следует, что
[Ру, а,-] = 6,7, [а;-, а,-] = 0. (5.310)
Последние фундаментальные скобки Лагранжа [Р;, Р;] также обращаются в
нуль, как это следует из рассмотрения <3#/<3р;.
Аналогично, для величин ak, рА выполняются соотношения:
{р" а,.} = 617, {а,, а;-} = 0, {рь р,} = 0. (5.311)
Для доказательства составим выражение для а,-:
, За,- . "I V \да,дН да; 5//]
- 2j \dq~k дРк Рк\ [dq~k dp~k ~ дрк Wk\ ~
к k
к
VI \\дос/ даj dai da.j j дН "да* дру да,-дрЛд//\
- Li \\dqk dpk dpk dqk J da, ' [dqk dpk dpk dqk\ <%) ~
к, j
= 2ia" aJ§, + 2ia>' f/l| (5-312)
Из сопоставления (5.202) и (5.312) (а также из аналогичного выражения для
р;) вытекают приведенные выражения (5.311).
Мы доказали, что фундаментальные скобки удовлетворяют соотношениям
(5.307) и (5.308) независимо от выбора канонических переменных. Это
означает, что при переходе от переменных pk, qk к переменным аг, р,-
выполняются следующие соотношения-
\Як, Pi}' ={qk, Р/} = б*г, {qk, qi}' ={qk, qt} = 0,
{Рк, Pi}' = {рк, Pi) = о.
Строго говоря, мы доказали это утверждение для а,-и Р/, но точно такое же
доказательство годится и тогда, когда мы рассматриваем скобки (5.313). В
(5.313) мы отмстили скобки Пуассона, записанные в переменных ait
134
Pi, штрихом. Соотношения, сходные с (5.313), справедливы также и для
скобок Лагранжа.
Теперь мы покажем, что скобки, которые до сих пор были определены через
канонические переменные специального вида рк и qk, инвариантны
относительно канонических преобразований. Мы проведем доказательство для
скобок Пуассона; другими словами, мы хотим доказать:
{/, ?}' = {/- ?}; (5.314)
доказательство для скобок Лагранжа нетрудно получить тем же самым методом
или же принимая во внимание тот факт, что (5.305) справедливо независимо
от выбора канонических переменных.
До начала доказательства отметим, что
1й.I?../1=^- (5.315)
Если вместо / подставить сюда Н, то с учетом (5.303) уравнения (5.315)
сведутся к уравнениям движения (5.108). Теперь займемся выражением {/,
g}':
^ = 2 ^ ^ °8 - - dg
, df); да; даi d$i,
i
= У, i, k
= + (5.316)
df !_dg_ dqb_ , _dg_ _^Pk_\__________________________df ! dg dqk . dg dpk
\
d$i \ dqk dat dpk dat ) дщ \ dqk dfc dpk j
Полагая в (5.316) сначала / = (?;, а затем \^ри и используя (5.313) и
(5.315), мы найдем:
{qt> гГ= 2^Г{qu
=21^ ^<+2ж{с,!' Pk}= k k
= ?}; (5-317) {pt> =2~d!k {pt' У*} ~^2~др^{р1' рк} =
=2^^' ^+2ж{Р1'Pk]= k k
= (5-318)
135
Имея п виду инвариантность скобок \qh g) и {pi, g}, мм получаем из
(5.316), воспользовавшись соотношениями (5.315):'
It "г_. V I f у J _?g_ If п у
1/1 gi Jmi "dfjh "• Qk> и дРк Рк!
к
=- У| дЙ__________________'Л.М.
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 70 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed