Основы гамильтоновой механики - Хаар Д.Т.
Скачать (прямая ссылка):
ф = К cos 6/2CQ, \ (4.247)
где мы заменили член sin2x его средним по времени,
равным половине.
До сих пор мы учитывали только влияние Солнца. Аналогичные вычисления
можно провести для действия Луны на Землю. Так как лунная орбита
расположена практически в плоскости эклиптики, то в первом приближении
можно просто заменить К на К', где К' получается из (4.240), где и R
заменятся на массу Луны и расстояние от Земли до Луны соответственно.
Масса Луны значительно меньше, чем масса Солнца, однако
114
Луна расположена намного ближе к Земле, так что величина К' почтя вдвое
превосходит К.
Найдем период прецессии согласно (4.247):
К cos б _j q - д з cog g
где использован третий закон Кеплера (1.246) и следующие численные
значения: С/(С - Л) = 300, Q/co = 365, 6 = 23°. Различие между получаемым
таким образом периодом (около 80 ООО лет) и наблюдаемым периодом (26 ООО
лет) легко объясняется влиянием Луны.
§ 4.3. Вращающиеся системы отсчета. Силы Кориолиса
В предыдущем параграфе мы вывели уравнения Эйлера, воспользовавшись
формулой (4.203), определяющей связь между производной по времени от
вектора в системе координат, неподвижной в пространстве, и производной по
времени от того же вектора во вращающейся системе отсчета. В этом
параграфе мы применим ту же самую формулу (4.203), но уже к (4.107), а не
к (4.112). Специально мы остановимся на движении материальных точек на
поверхности Земли. Если на частицу массы т действует сила /•', то
уравнение движения частицы имеет вид:
а используя дважды (4.203), мы найдем во вращающейся системе отсчета:
т 'х=> - 2m [to, л:] - m {[со, л:] -[со, [со, atJJI + F, (4.302)
где точка означает дифференцирование в системе XYZ, т. е. (d/dt)XYZ¦
Во всех случаях, которые рассматриваются далее, со - это вектор угловой
скорости вращения, соответствующий суточному вращению Земли. С
достаточной степенью точности можно положить тогда ы = 0. Выражение [со,
[со, л:]], как это легко видеть, определяет центробежное ускорение. Его
компонента вдоль радиус-вектора, проведенного из центра Земли к точке
земной поверхности, равная Qa#coscp (где Q-угловая скорость вращения
Земли вокруг своей оси; /?-радиус Земли; ср - широта точки на поверхности
Земли), составляет около 0,003g cos q>(g -
2CQ R* Q С 2
3 cos б со С - А
= -~- ,, -я- о>
2 Q С
(4.301)
115
ускорение силы тяжести) и должна приниматься по внимание наряду с обычным
ускорением силы тяжести. Вместе с тем поправка вта составляет не более
0,3 % от g, поэтому ею можно пренебречь во многих задачах; именно Так мы
и поступим в дальнейшем.. Мы также пренебрежем остальными компонентами
вектора [о, [ю, .r]j.
Тогда у нас останется следующее (приближенное) уравнение движения!
т.% = - 2/и [о", (4.303)
Первый член в правой части -это так называемая сила Кориолиса. Если
частица движется в северном полушарии в направлении на север, то на нее
будет действовать сила, направленная па восток. Это обстоятельств о имеет
значение при рассмотрении течения рек и для понимания законов образования
и циркуляции циклопов. Мы же ограничимся двумя простыми механическими
примерами, в которых силы Кориолнса имеют существенное значение. Первый
пример-это падение частиц б поле тяжести Земли, точнее - траектория
частицы, брошенной с некоторой высоты. Второй пример - маятник Фуко.
Выберем сейчас координатные оси следующим образом: пусть ось z направлена
вдоль радиус-вектора, идущего от центра Земли к точке на ее поверхности,
где будет производиться эксперимент; ось у направим по касательной к
окружности постоянной широты в направлении "запад - восток"; ось х
направим по касательной к меридиану в направлении "север -юг" (напомним,
что направления выбранных таким образом осей х, у, г в разных точках
Земли различные). Вектор (r) имеет в этой системе осей компоненты - Qcostp,
О, Q sin со, где, как и раньше, О - угловая скорость вращения Земли, а со
- широта места, где проводится опыт. Запишем уравнение (4.303) в
компонентах:
f = 2Q sin ф tj -}- FxJm,
$ = - 2Q cos ф 2 - 2Q sin ф i Fy/m, (4.304) z = 2Q cos ф y+ PeJm.
В первой задаче можно считать Fx = F,, = 0, P.- --mg (где при желании
можно подправить g на центробежное ускорение, о котором только что шла
речь). Можно проинтегрировать первое и третье уравнение из (4.304) и
подставить полученный результат во второе уравнение
116
(4.304), принимая во внимание начальные условия (х = -;/ - 0, г = Л и х -
у - г- 0 при / = 0):
у = - 4?22г/ 2Q cos <р g/. (4.305)
Можно пренебречь членом, содержащим ?22, по сравнению с другими членами;
тогда мы найдем величину смещения Л у для точки, где окажется на Земле
падающая частица, относительно той точки, куда бы она упала, если бы
Земля не вращалась (?2 = 0):
Л(/ = Q cos ф gT3-, (4.306)
здесь через Т обозначено время, необходимое частице, чтобы упасть иа
Землю,
T**(Wg)il2. (4.307)
Подставив (4.307) в (4.306) и полагая /г = 102 м, мы найдем для Ду
величину около 0,02 м. Физическая причина этого отклонения очень проста:
