Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
орбит периода 2. Кривая у имеет квадратичное касание с прямой R х {/то} в
точке (xq, /хо).
Здесь величина (F1) представляет собой производную по /т от f вдоль
кривой неподвижных точек. Первое условие играет роль условий
невырожденности SN2 и Н2 в теоремах 3.4.1 и 3.4.2. В условии (F2) знак
величины а определяет устойчивость и направление бифуркации орбит периода
2. Если а > 0, орбиты устойчивы, а если а < 0 - то неустойчивы. Заметим,
дх3
На рисунке 3.5.1 показана бифуркационная диаграмма для семейства
/м(я) = -(1 + /х)х + х3. (3.5.4)
В качестве примера рассмотрим одномерное квадратичное отображе-
ние из упражнения 3.5.1
/м: х -> /1 - х2. (3.5.5)
Верхняя ветвь равновесия задается формулой (при /т > -
что для определения величины а необходим кубический член --.
х=-| + у |+/т. (3.5.6)
Линеаризация вдоль этой ветви приводит к соотношению
% = ~2я=1-лД+4/i, (3.5.7)
откуда = - 1 при /1 = ^. Следовательно, (xq, /xq) = |) является
кан-
ОХ 4 А 4
дидатом на точку бифуркации удвоения периода. В данном примере легко
проверить, что условия F1 и F2 теоремы 3.5.1 выполнены, и
бифуркация
действительно имеет место.
204
Глава 3
fM(x)
Рис. 3.5.1. Бифуркация переворачивания для уравнения (3.5.4): (а) графики
/Дж); (Ь) графики /^(ж); (с) бифуркационная диаграмма.
Для определения устойчивости орбит периода два в данном примере заметим,
что вторая и третья производные функции / в точке (ар, до) равны
d2f^, \ о 93 f
3.5. Бифуркации отображений и периодических орбит
205
следовательно, величина а в (F2) положительна и бифуркация суперкриги-
ческая.
УПРАЖНЕНИЕ 3.5.4. Покажите, что в обоих примерах из упражнений 3.5.2 и
3.5.3 при /г = 3 происходят бифуркации удвоения периода. Являются они
субкри-тическими или суперкритическими?
УПРАЖНЕНИЕ 3.5.5. Покажите, что отображение х -> -(1 + р)х - х2 + /Зх3
может испытывать как суб-, так и суперкритическую бифуркацию удвоения
периода в зависимости от величины /3.
Мы сделаем заключительное замечание, касающееся связи между отображением
возврата Р с собственным значением -1 в неподвижной точке р и непрерывным
потоком вблизи соответствующей периодической орбиты. Траектории Р
переходят с одной стороны р на другую в направлении собственного вектора,
соответствующего собственному значению -1 (см. раздел 1.4, таблицу 1).
Это означает, что двумерное центральное многообразие для этой
периодической орбиты закручивается вокруг периодической орбиты, подобно
тому, как лист Мебиуса закручивается вокруг своей центральной линии.
Отображение Р, склеивающее два конца листа друг с другом, обращает
ориентацию вблизи р. Ввиду невозможности погрузить лист Мебиуса в
ориентируемое двумерное многообразие (подобное плоскости) в двумерной
системе не может произойти бифуркации удвоения периода (см. упражнение
1.5.3(b)). Однако, как мы увидим позднее, такая бифуркация может
происходить, и происходит в действительности, в потоках размерности три
или более1.
УПРАЖНЕНИЕ 3.5.6. Постройте геометрическую модель потока в R3,
испытывающего бифуркацию удвоения периода. Изобразите инвариантные
многообразия периодических орбит вблизи бифуркации. Должны ли устойчивое
и неустойчивое многообразия для периодических орбит закручиваться в точке
бифуркации, подобно листу Мебиуса? Что вы можете сказать об инвариантных
многообразиях для периодических орбит с большими периодами?
Перейдем теперь к бифуркациям периодических орбит, имеющих комплексные
собственные значения Л, Л, где |А| = 1. Аналогия с теорией бифуркации
Хопфа подсказывает, что вблизи бифуркации будут существовать орбиты,
окружающие неподвижную точку. Индивидуальная орбита дискретного
отображения не может заполнить окружность целиком, поэтому структура
бифуркации более сложна, чем это можно вывести на основании поиска новых
периодических орбит. Действительно, некоторые потоки
'Невозможность бифуркации обсуждаемого типа в двумерных потоках проще
объяснить тем, что собственные значения А = е^, ? - корень
характеристического уравнения, в этом случае положительны. - Прим. перев.
206
Глава 3
вблизи бифуркации не имеют новых периодических орбит вблизи обсуждаемой,
но имеют вместо этого квазипериодические орбиты. Для отыскания последних
требуется более тонкий анализ. Прежде чем провести такой анализ, отметим
другую трудность, с которой приходится сталкиваться.
Пусть дано такое преобразование /: IP2 -> R2, для которого начало
является неподвижной точкой, а -0/(0) является матрицей поворота на угол
2тгв:
(cos 2тгв - sin 2тгв\ . .
ysin27T0 COS27T0 у 1 • • 1
Мы хотим произвести вычисления нормальной формы, упрощающие члены старших
порядков в ряде Тейлора для / посредством нелинейных преобразований
координат. Как и в случае потоков, вычисления проще проводить в
комплексной области (см. добавление к разделу 3.4.). Если считать х,у
комплексными числами, то собственные векторы Df(0) равны ^ \ ^ и (j),
они отвечают собственным значениям е2жгв и е~2жгв и координатам z иг
