Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
3.5. Бифуркации отображений и периодических орбит
201
3.5. Бифуркации отображений и периодических орбит коразмерности единица
В данном разделе мы рассмотрим простейшие бифуркации периодических орбит.
Применяемый метод исследования состоит в переходе к отображениям Пуанкаре
с последующей попыткой повторить результаты предыдущего раздела к
полученным дискретным динамических систем. Реализация этого подхода
обычно связана с дополнительными трудностями и тонкостями. Причина
кроется в необходимости предварительного интегрирования уравнений
движения в окрестности рассматриваемой периодической орбиты для
построения отображения Пуанкаре. Ввиду этого представленные ниже
результаты используются, как правило, для одной из нижеследующих целей:
(1) сравнение с численными расчетами;
(2) дискретные динамические системы, определяемые непосредственно
отображениями;
(3) возмущения систем, которые могут быть проинтегрированы в явном виде
(см. главу 4).
Ввиду отмеченных вычислительных трудностей мы сфокусируем изложение
бифуркаций периодических орбит на геометрических аспектах.
Имеется три случая негиперболичности неподвижной точки р дискретного
отображения /: R(tm) -> М": Df(p) может иметь собственное значение +1,
собственное значение -1 или пару комплексных собственных значений Л, Л,
где |А| = 1. (Будем далее называть собственные значения матрицы Df[p)
собственными значениями неподвижной точки р.) Теория бифуркаций
неподвижных точек с собственным значением 1 вполне аналогична теории
бифуркаций положений равновесия с нулевым собственным значением. Типичное
однопараметрическое семейство имеет двумерное центральное многообразие
(включая ось параметра), на котором оно топологически эквивалентно
семейству типа седло-узел, определяемому отображением "
/м(ж) = х + р - х . (3.5.1)
Те же соображения, что и в разделе 4, касающиеся ограничений и симметрий,
приводят к изменениям типичного портрета, соответствующим либо
транскритической бифуркации, либо вилке. Не приводя подробного анализа
примеров, предлагаем читателю произвести расчеты в следующих задачах.
УПРАЖНЕНИЕ 3.5.1. Покажите, что отображение х -> /г - х2 испытывает
бифуркацию типа "седло-узел" в точке (х, р) = (-^). С какой стороны от
бифуркационного значения лежат неподвижные точки?
УПРАЖНЕНИЕ 3.5.2. Покажите, что отображение х -> рх(1 - х) испытывает в
точке (х, р) = (0,1) транскритическую бифуркацию.
202
Глава 3
УПРАЖНЕНИЕ 3.5.3. Покажите, что отображение (х, у) -> (у, - + уу
- у3)
О
испытывает бифуркацию типа "вилка" в точке (х, у, у) = (0, 0, - ).
Является ли она суб- или суперкритической?
Бифуркации с собственным значением -1 не имеют аналогов для положений
равновесия, а теория комплексных собственных значений тоньше, чем теория
бифуркации Хопфа для потоков.
Собственное значение -1 ассоциируется с бифуркацией удвоения периода, или
субгармонической бифуркацией. Пользуясь редукцией на центральное
многообразие, мы ограничимся рассмотрением одномерных отображений f'l,,
где /I - некоторый скалярный параметр. Если 0 является неподвижной точкой
отображения /Мо: R. -> R. с собственным значением - 1, то разложение
этого отображения по формуле Тейлора до третьей степени имеет вид
/^"(х) =-х + а2х2 + а3х3 + R3(x), R3(x) = о(\х3\). (3.5.2)
Теорема о неявной функции гарантирует существование некоторой гладкой
кривой (т(/г),/г), состоящей из неподвижных точек на плоскости и
проходящей через (0, цо), поэтому мы должны искать изменения в
динамическом поведении, помимо изменения устойчивости, иначе. Составляя
квадрат отображения /мо, получим
f20 (х) = -(-х + а2х2 + а3х3) + а2(-х + а2х2)2 + а3(-х)3 + R3 =
= х - {2а\ + 2 а3)х3 + R3. (3.5.3)
Поскольку отображение f2a имеет собственное значение +1, его неподвижные
точки не обязаны изменяться гладким образом, и мы можем ожидать
существование у f2 неподвижных точек вблизи (0, цо), не являющихся
неподвижными точками /м. Такие точки являются, очевидно, периодическими
орбитами периода 2. Исследуя разложение Тейлора для /ДДж), мы видим, что
коэффициент при квадратичном члене равен нулю, поэтому бифуркационное
поведение напоминает "вилку" с тем основным отличием, что новые орбиты не
являются неподвижными точками, а имеют период 2. Описанные выше идеи
приводят к следующему результату, завершение доказательства которого мы
оставляем читателю.
Теорема 3.5.1. Пусть /м: R -> R - однопараметрическое семейство
отображений, причем /мо имеет неподвижную точку х3 с собственным
значением -1. Допустим, что в точке (хо,ро) выполнены следующие уело-
3.5. Бифуркации отображений и периодических орбит
203
вия:
(F1) (дЩ+2Щ = дЩ-(д-1_Л^фь ' д/х дх2 дхд/х' д/х дх2 Удх ' дхд/х
<-> 4(S)4(S)^
Тогда через точку (хо,/хо) проходит гладкая кривая, состоящая из
неподвижных точек отображения /м, устойчивость которых меняется в этой
точке. Кроме того, существует гладкая кривая у, проходящая через (хо,ро),
такая, что у - {(а;о,/то)} представляет собой объединение гиперболических
