Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
точке (0,0), а вторая - субкритическая и происходит одновременно в
неподвижных точках (х, х) = (±y/-v, 0). Попытайтесь изобразить фазовые
портреты этой системы для различных значений параметров (у, v) (Е R2.
Какой вид имеет вырожденная особенность в начале координат, если (у, v) =
(0, 0)? (Глобальные аспекты данной проблемы сложны и требуют
использования методов, описанных в главах 4 и 7. Смотри, в частности,
раздел 7.3.)
Упражнение 3.4.8 (предназначено для вычислений). Для значений а =
о
= 10, /3 = g ненулевые положения равновесия уравнения Лоренца испытывают
бифуркацию Хопфа при 24 < р < 25. Вычислите для этого примера кубический
коэффициент, определяющий устойчивость. (См. обсуждение этой задачи в
Марсден и МакКракен [1976], имея в виду наличие ошибок в их расчетах.)
В заключение раздела заметим, что Allwright [1977] и Mees [1981] получили
критерии бифуркации Хопфа при помощи методов гармонического баланса и
функций Ляпунова.
Приложение к разделу 3.4: вывод формулы устойчивости (3.4.11)
Если приведенная (приближенная) система имеет пару чисто мнимых
собственных значений Л, Л = ±гш, то ее удобно представить как единствен-
198
Глава 3
ное комплексное уравнение
z = Xz + h(z, z), (3.4.17)
где
z = х + iy, X = ioj.
Нормальная форма (3.4.8) при ц = 0 принимает вид
W = Xw + C\W2W + C2lV3W2 + . . . +
+ ckwk+1wk + 0(\w\2k+3)d= Xw + h(w,w), (3.4.18) где комплексные
коэффициенты имеют вид
Cj=aj + ibj, (3.4.19)
а черта обозначает комплексное сопряжение.
Упражнение 3.4.9. Проверьте вышеприведенное утверждение.
Так как в полярных координатах мы имеем
Г = <21 Г3 + С12Г5 + . . . ,
С3-4-20)
в = L0 + Ь\Г + Ь2Г + . . . ,
то первые ненулевые коэффициенты a t, bj определяют устойчивость (и
локальный рост амплитуды) периодической орбиты и зависящее от амплитуды
изменение ее периода.
До сих пор мы просто переписали нашу систему в комплексной форме. Теперь,
следуя Hassard, Wan [1978], мы покажем, как эта форма позволяет
относительно просто рассчитать определяющий коэффициент ai = Re (ci). Эти
вычисления значительно проще, чем приведенные в Марсден, МакКракен
[1976]. Для преобразования (3.4.17) к виду (3.4.18) используем
преобразование, близкое к тождественному:
z = w + ф = 0( | го |2). (3.4.21)
Подставляя (3.4.21) в (3.4.17), получим при учете (3.4.18)
Х{'шфп] - ф) + XШфй =
= h(w + ф,1Б + ф) - h(w,w)( 1 + фуф) - Н(ш,7ш)фу3, (3.4.22)
3.4. Бифуркации положений равновесия коразмерности один
199
где нижние индексы обозначают частные производные. Теперь представим ф в
виде степенного ряда (здесь ф^^ = дф^+к/сй/Чdwk):
ф(и>, Ш) = ^k%fr +°(lw|4)- (3.4.23)
Далее, используя тот факт, что нормальная форма имеет вид h(w, w) = =
Ciw2w + 0(|w|4), и подставляя (3.4.23) в (3.4.22), получим
2 2
^фут!~2~ Т ^'¦ф'гтй'Ш'Ш "Ь (2А ^ффяБТБ-^ =
2 -2
= hww-^~ + hyy^ww + >~2~ ^(lwl )• (3.4.24)
Приравнивая коэффициенты, найдем главные члены преобразования:
/ hww ^hww / hww ihWw / hww ihww
Vww - - = U~, Vww = -y - -[J-, y>ww = - _ д-J
= ~ффо~'
(3.4.25)
Теперь мы можем сделать разложение на один порядок выше и вычислить
коэффициенты при члене нормальной формы w2W. Читатель может проверить,
что коэффициент при этом члене в левой части формулы (3.2.2) тождественно
равен нулю, поэтому для правой части имеем
Ь'гогофгогй Т ^ Т Т ^ hww^w w Т = б;
или, вследствие (3.4.25),
ер = 2^ ^hwwhww ^ + ^hwww' (3.4.26)
Следовательно, мы имеем
2ai = 2 Re (ci) = h*wW - ^(h^h1^ + h^whiw), (3.4.27)
где верхние индексы R, I обозначают действительную и мнимую части
соответственно. Аналогичное выражение может быть получено для Ь \. При
таком подходе мы непосредственно видим, как изменяются члены третьего
порядка при нашем преобразовании = id +ф, посредством которого мы
200
Глава 3
удалили члены второго порядка. В статье Hassard, Wan [1978] вычислен
второй коэффициент сг (пятого порядка), и система погружается в задачу
более высокой размерности, так что появляются также дополнительные члены,
связанные с аппроксимацией центрального многообразия.
Подчеркнем, что эти вычисления можно выполнить в исходной системе в
вещественных переменных, но в таком виде они будут значительно более
громоздкими. Однако, поскольку обычно мы работаем с вещественными
системами, удобно выразить ai в терминах вещественных функций /, д в
уравнении (3.4.8). Разлагая f,g в ряды Тейлора и беря вещественную и
мнимую части от комплекснозначной функции h (и ее рядов), получим такие
выражения для нужных членов в формуле (3.4.27):
УПРАЖНЕНИЕ 3.4.10. Проверьте формулы (3.4.28) и найдите выражения для
коэффициентов \hWw\2, \hww\2 и hi,Ww через производные от / и д, что
позволит вам вычислить коэффициент bi = Im (ci).
Формулу устойчивости (3.4.11) можно вывести теперь, подставляя выражения
(3.4.28) в (3.4.27):
Заметим в заключение, что нормальная форма параметризованной бифуркации
Хопфа изящно выражается в комплексных переменных:
(3.4.28)
w = Xw + ciw2w + 0(|w|5),
(3.4.30)
где Л = д + гсо; см. Арнольд [1972].
