Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
бифуркацией седло-узел, является транскритичестя бифуркация.
В классической теории бифуркаций часто предполагается существование
тривиального решения, с которым должна произойти бифуркация. В частности,
считают, что в (3.4.5) при всех р выполнено условие /ДО) = = 0, т. е. х =
0 является положением равновесия для всех значений параметра. Поскольку
семейства седло-узла допускают значения параметра, при которых в
окрестности точки бифуркации нет положений равновесия, то такая ситуация
качественно иная. Для формулировки подходящих условий трансверсальности
посмотрим на однопараметрические семейства, для которых при всех р
выполнено равенство /ДО) = 0: для них гипотеза (SN2) теоремы 3.4.1 не
может быть выполнена. Если заменить ее требованием w((d2 f /др dx)(v)) ф
0 в точке (07ро), то фазовые портреты семейства вблизи бифуркации будут
эквивалентны портретам на рис. 3.4.2, и мы имеем транскритическую
бифуркацию, или смену устойчивости.
Вторая постановка задачи, в которой невозможна бифуркация седло-узел,
присуща системам с симметрией. Многие физические системы формулируются
таким образом, что уравнения, определяющие систему, обладают симметрией
того или иного рода. К примеру, уравнение Дуффинга инвариантно
преобразованию (х, у) -> (-х, -у), а уравнение Лоренца симметрично при
замене (х, у, z) -> (-х, -у, г). В одномерном случае диффе-
3.4. Бифуркации положений равновесия коразмерности один
193
ренциальное уравнение (3.4.5) симметрично или эквивариантно по отношению
к симметрии х -> -х, если /Д-х) = - /Дж). Таким образом, для
эквивариантных векторных полей (х) является нечетной функцией от х. В
частности, все такие уравнения имеют равновесие в нуле. В таких системах
не может произойти и транскритическая бифуркация, так как нечетная
функция не может удовлетворять условию d2ftl/dx2 ф 0, необходимому для
такой бифуркации (см. SN3). Если это условие заменить гипотезой д3 fu/дх3
ф 0, то получим бифуркацию типа "вилка". В точке бифуркации изменяется
устойчивость тривиального решения, и с одной стороны от нее в
пространстве параметра появляется пара (вследствие симметрии) новых
положений равновесия, как на рис. 3.4.3. Мы оставляем читателю
формулировки результатов, аналогичных теореме 3.4.1, для транскритической
бифуркации и "вилки" (см. Sotomayor [1973]).
Заметим, что направление бифуркации и устойчивость ветвей в этих примерах
определяется знаком д2 f^jdx2 или д3 f^/dx3. Во втором случае если
д3/ц/дх3 < 0, то ветви существуют "выше" бифуркационного значения и мы
имеем суперкритическую вилку, а при противоположном знаке данного
неравенства - субкритическую.
УПРАЖНЕНИЕ 3.4.2. Вычислите нормальную форму для уравнений Лоренца в
начале координат при р = 1 до членов третьей степени. Заметьте, что здесь
имеет место бифуркация типа "вилка", даже несмотря на то, что в этих
уравнениях содержатся только квадратичные члены (см. упражнение 3.2.5).
УПРАЖНЕНИЕ 3.4.3. Исследуйте бифуркацию "вилка", имеющую место в
вариационном уравнении Ван дер Поля при (а, у) = (д/ДЗ, Д8/27).
Бифуркация Хопфа1
Допустим теперь, что при значении параметра р. = ро система (3.4.5) имеет
положение равновесия р(ро), в котором DfIUl имеет пару простых чисто
мнимых собственных значений ±гш, х > 0, а все остальные собственные
значения имеют ненулевую вещественную часть. Теорема о неявной функции
гарантирует (так как матрица Df^0 обратима) существование для каждого
значения р вблизи ро положения равновесия /;(/;), близкого к р(ро) и
зависящего от р гладким образом. Тем не менее, при пересечении
собственными значениями матрицы Df(p(p)) мнимой оси при р = ро происходит
изменение размерностей устойчивого и неустойчивого многообразий для р(р).
Это качественное изменение в локальном потоке вблизи р(р) должно быть
отмечено некоторыми другими локальными изменениями фазового портрета, не
касающимися неподвижных точек.
1 Правильнее называть данное явление бифуркацией Пуанкаре - Андронова -
Хопфа (См. сноску на стр. 188). - Прим. перев.
194
Глава 3
Ключом к проблеме типичной бифуркации положения равновесия с чисто
мнимыми собственными значениями может служить изучение линейной системы,
включающей изменение указанного типа. Например, рассмотрим систему
х = ух - соу,
(3.4.6)
у = сох + уу,
решения которой имеют вид
т = (C0SLJl ~Sinf'1 (х°) . (3.4.7)
\y(t)J \smcot coscot J \yoJ y J
Если у < 0, то решение "навивается" на начало координат, а при у > О оно
"свивается" с начала. Если у = 0, то все решения периодичны. Даже в
однопараметрическом семействе уравнений наличие целого семейства
периодических орбит при некотором значении параметра является весьма
необычным, однако в общем случае возникает некоторая поверхность,
заполненная периодическими орбитами.
Теорема о нормальной форме говорит нам о том, чем типичная задача
отличается от системы (3.4.6). Посредством гладких замен координат
разложение по формуле Тейлора до третьей степени в общем случае может
