Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
равновесия системы (3.4.5) образуют кривую, касающуюся прямой р = ро.
d2 f
Дополнительное условие трансверсальности Ф~(хо) Ф 0 гарантирует,
dx
что кривая равновесий имеет квадратичное касание с прямой р = ро и
локально лежит по одну сторону от этой прямой. Данная информация уже
достаточна для вывода, что локальный фазовый портрет данной системы
топологически эквивалентен портрету системы х = ±(р - рф) ± (ж - хф)2 ¦
Однако мы можем также сформулировать эти условия трансверсальности для n-
мерной системы, не прибегая к редукции на центральное многообразие.
Следующая теорема дает необходимые условия (см. Sotomayor [1973]).
Теорема 3.4.1. Пусть х = /м(ж) - система дифференциальных уравнений в R(tm),
зависящая от единственного параметра р. При р = ро существует положение
равновесия р, для которого удовлетворяются следующие гипотезы'.
(SN1) Dxf^a (р) имеет простое нулевое собственное значение с правый
собственный вектором v и левым собственный вектором w, а также к
собственных значений с отрицательными вещественными частями и (п - - к-
1) собственное значение с положительными вещественными частями (с учетом
кратности).
(SN2)W(^(p,p0)) ^0.
(SN3) w(D2xflxa(p)(v,v)) ф 0.
Тогда существует гладкая кривая равновесий в R(tm) х R, проходящая через
точку (р,ро), касающаяся гиперплоскостиЖ1 х {ро}- В зависимости от знаков
выражений (SN2) и (SN3) вблизи этой точки не существует положений
равновесия, если р < ро (р > ро) и два положения равновесия для каждого
из значений р > ро (р < рф). Эти два положения равновесия системы х =
/м(ж) вблизи точки (р, рф) имеют гиперболический тип и имеют устойчивые
многообразия размерностей kuk + l соответственно. Множество уравнений х =
/м(ж), удовлетворяющих условиям (SN1)-(SN3),
3.4. Бифуркации положений равновесия коразмерности один
191
открыто и плотно в пространстве однопараметрических семейств векторных
полей класса С°°, имеющих в (р, ро) положение равновесия с нулевым
собственным значением.
Эта формальная (и грандиозная) теорема всего лишь выражает тот факт, что
"типичная" бифуркация седло-узел качественно подобна бифуркации в
семействе уравнений х = р - х2 в направлении собственного вектора с
нулевым собственным значением и с гиперболическим поведением в
дополнительных измерениях. Гипотезы (SN2) и (SN3) представляют собой
условия трансверсальности, обуславливающие невырожденность поведения по
отношению к параметру и преобладающее влияние квадратичных нелинейных
членов.
УПРАЖНЕНИЕ 3.4.1. Рассмотрите усредненные уравнения Ван дер Поля
(уравнения (2.1.14))
й = и - ov - и(и2 + v2),
v = ои + v - v(u2 + v2) - у.
Найдите точки бифуркации седло-узел в пространстве (о, у). Где нарушаются
условия (SN1) и (SN3)? (Решение включает утомительные расчеты, так как
необходимо решение кубического уравнения для нахождения особых точек.)
Результаты, получаемые из теоремы 3.4.1, ограничены по двум соображениям.
С одной стороны, возможно извлечение количественной информации о потоках
вблизи бифуркации. Например, можно использовать систему х = р - х2 для
получения оценок скорости сходимости к различным положениям равновесия.
Для уточнения этих оценок можно использовать члены высших порядков в
формуле Тейлора. Этот аспект теории дифференциальных уравнений не будет
далее обсуждаться, поскольку мы фокусируемся на геометрических, а не
аналитических вопросах. В этой связи, напомним читателю, что мы зачастую
не прилагаем усилий для формулировки наиболее сильных или общих теорем в
каждой ситуации, а скорее стараемся проиллюстрировать явление и методы
его анализа простейшими способами.
Второе ограничение теоремы 3.4.1 связано с возможностью глобальных
изменений фазового портрета, ассоциированных с бифуркацией седло-узел.
Рассмотрим, к примеру, потоки, изображенные на рис. 3.4.5, которые мы уже
встречали в примере Ван дер Поля из раздела 2.1 (см. рис. 2.1.3). Здесь
имеет место бифуркация "седло-узел" в двумерной системе со слиянием стока
и седла. После бифуркации появляется новая периодическая орбита, так как
неустойчивая сепаратриса седло-узла лежит на устойчивом многообразии
бифурцирующего положения равновесия. Это пример явления глобальной
бифуркации, которое не может быть сведено к изучению окрестности
положения равновесия или неподвижной точки отображения. Мы вернемся к
проблеме глобальной бифуркации в главе 6.
192
Глава 3
ной бифуркации.
Транскритическая и вилообразная бифуркации
Важность бифуркации седло-узел обусловлена тем, что все бифуркации
однопараметрических семейств для положений равновесия с нулевым
собственным значением можно привести к этому типу путем малого
возмущения. Поэтому можно ожидать, что встречающиеся в приложениях
бифуркации с нулевым собственным значением являются седло-узлами. В
противном случае следует ожидать наличия каких-либо особенностей и
ограничений в формулировке задачи, препятствующих возникновению седло-
узла. Одним из примеров, показывающих несовместимость постановки задачи с
