Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
чисто мнимых собственных значений или нулевое собственное значение
кратности два. Последний случай реализуется, если
(сг + т + сгт)к4 - 7Г2 сгт2 к~2 (Rt - Rs) = 0,
" о о (7.6.4)
ктк + 7г ак (Rs - Rt) = 0.
Упражнение 7.6.1. Проверьте правильность формул (7.6.3) и (7.6.4).
В отсутствие горизонтальных граничных условий система (7.6.2) имеет
непрерывный спектр (величина к в (7.6.3) может изменяться непрерывно) и
теорема Marsden, McCracken [1976] о центральном многообразии неприменима.
Если наложить либо периодическое граничное условие с периодом L, либо
условие гр = Тх = Sx = 0 при х = 0и при х = L, то собственные функции
линеаризованной системы будут иметь тот же вид, но к будет ограничено
дискретными значениями. За исключением тех дискретных значений величины
L, для которых два из допустимых значений к = rri/L приводят к решениям
уравнения (7.6.3) с одинаковой максимальной вещественной частью, наиболее
вырожденной бифуркацией, которая может иметь место в устойчивом
тривиальном положении равновесия, является пара нулевых корней. Мы
обсудим вычисление нормальной формы (нелинейных членов) после знакомства
со вторым примером.
Пример II. Происхождение второго примера связано с изучением движения
упругой панели под действием осевой нагрузки и потока жидкости,
направленного вдоль ее панели. Более полное описание системы, а также
подробности функционально-аналитических методов, необходимых для
доказательства существования, единственности и гладкости решений в
бесконечномерном фазовом пространстве, можно найти в работах Holmes
[1977, 1981а] и Holmes, Marsden [1978].
На рисунке 7.6.1 приведен эскиз физической системы. Сверхзвуковое течение
жидкости проходит поверх тонкой пластины, закрепленной на ребрах г = 0иг
= 1и свободной при у = 0 и у = I. Кроме того, пластина
7.6. Приложения к многомерным системам
507
Рис. 7.6.1. Движение упругой панели под действием осевой нагрузки и
потока жидкости.
подвержена действию продольной механической нагрузки Г • I. Скорость
жидкости выражается через динамическое давление р. Пользуясь
безразмерными величинами и считая, что панель при изгибе образует
цилиндрическую поверхность (так что смещение w(z, у, t) = w(z, t) не
зависит от у), получим следующее нелинейное интегро-дифференциальное
уравнение, по существу являющееся одномерным вариантом уравнений Кармана
для тонкой пластины:
1 1
wtt + awtzzzz + \fp5wt + |Г - к J w|(?)d?- <т J wi(S,)wit{C)d^wzz+
о о
+ Wzzzz + pwz = 0. (7.6.5)
Здесь w = w(z,t) - трансверсальное перемещение панели, а, сг ^ 0 -
параметры линейного вязкоупругого трения, соответствующего панели, S
характеризует трение жидкости, а к > 0 является мерой нелинейных осевых
(мембранных) восстанавливающих сил, возникающих в панели вследствие
трансверсального смещения. Все эти величины мы считаем в данной задаче
постоянными, допуская, однако, изменение двух параметров Г и р
(механическая нагрузка и скорость течения). Поэтому, следуя общим
соображениям, изложенным в главе 3, мы ожидаем обнаружить в данной задаче
бифуркации коразмерностей один и два. Добавим к уравнениям (7.6.5)
граничные условия, соответствующие случаю простой (шарнирной) опоры:
w(0 ,t) = wzz(0,t) = w{l,t) = wzz{l,t) = 0. (7.6.6)
Явное решение линеаризованных уравнений (7.6.5) с условиями (7.6.6) не
представляется возможным, в отличие от термосолевой задачи. Одна-
508
Глава 7
ко мы можем использовать метод Галер кина для аппроксимации линейной
задачи при помощи некоторой последовательности конечномерных задач. В
методе Галеркина система (7.6.5)-(7.6.6) рассматривается как поток,
определенный на некотором гильбертовом пространстве Н. Выберем в Н
ортонормированный базис {fj}, составим разложение
(7.6.7)
и подставим его в (7.6.5). При этом формально получим бесконечную систему
обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка:
(7.6.8)
При усечении этой системы, получаемом при обнулении всех мод a,j при j >
п и отбрасывании всех уравнений для aj при j > п, получим конечномерную
систему, спектр которой можно исследовать численно.
В задаче о панельном флаттере положим Н = Ь2(0,1) и = smjivz. Усечение
для п = 2 имеет вид
а1 + (дат4 + л/р5)а1 + тг2(тг2 - Г)^ - {8р/3)а2 + /i(ai, Ф, а,2, а2) = 0,
й2 + (16шг4 + ^p5)a2 + (8p/3)ai +47Г2(47Г2 - Г)а2 +/2(ai, ад, а2, а2) =
0,
(7.6.9)
(7.6.10)
где
/1 - "2"[K(ai + 4а2) + <j(aidi + 4а2а2)]а\, /2 = 27г4[ге(а2 + 4а%) +
a{aicii + 4а2а2)]а2. ') в виде системь
х = А^х + f{x)
Переписывая (7.6.9) в виде системы уравнений первого порядка, получим
систему
(7.6.11)
х е к4, ц е к2,
где
А,=
х = (а\, а2, di,d2)T,
0 0
о о
7г2(Г - 7г2) 8р/3
-8р/3 4-7г2(Г - 47г2)
f{x) = (0,0,-fi,-f2y,
1 о
0 1
-(дат4 + у/)уб) 0
0 - (16а7г4-
а р = (Г, р)т - двумерный параметр.
Vfi) J
(7.6.12)
7.6. Приложения к многомерным системам
509
Мы рассмотрим бифуркации тривиального положения равновесия w(z,t) = 0 или
х = 0. Устойчивость этой неподвижной точки определяется собственными
