Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
методов теории возмущений. Сборник статей под редакцией Леф-шетца [1950,
1952, 1956, 1958, 1960] представляет математическую точку зрения на
ранние работы в области нелинейных колебаний.
Существует разнотипная и разрозненная литература о анализе методами
теории динамических систем конкретных задач в инженерном деле и
прикладных науках. С улучшением методов автоматического сбора данных и
осведомленности о периодических явлениях количество такой литературы о
приложениях быстро возрастает. Эта книга была написана была написана в
надежде удовлетворить нужды таких пользователей, но мы уделили мало места
самим приложениям. Труды конференции в Санта Барбаре (Джорна [1978]),
Асиломаре (Холмс [1980а]), Нью-Йоркской академии наук (Гурел и Рёсслер
[1979]), Хеллемане ([1980]) и Лос Аламосе (Кампбелл и Росе [1983])
содержат примеры приложений разного рода. Мы надеемся, что наша книга
вдохновит читателей на поиски и исследования других приложений.
Послесловие, добавленное при втором издании
На наше пожелание, выраженное в конце приложения к первому изданию,
последовала бурная ответная реакция, возможно даже чересчур бурная. За
последние три года появились буквально сотни статей, в которых для
изучения дифференциальных уравнений и итерационных отображений,
возникающих в практически каждой области исследований, использовались
методы (или по крайней мере язык) теории динамических систем. Были
опубликованы несколько книг и монографий. Появились полезные и достойные
упоминания сборники статей под редакциями Цвитановича [1984] и Хао
[1984], которые содержат статьи, важные с точки зрения физиков, с сильным
уклоном в сторону ренормализации, методов масштабирования и явлений
"универсальности". В Шустер [1984] также представлено введение в
некоторые из перечисленных вопросов с физической точки зрения. В отличие
от перечисленных работ Девани [1985] содержит самодостаточное и строгое
изложение теории итерационных отображений, начинающееся с несколько более
элементарного уровня по сравнению с данной книгой.
В аналогичном выдержаны книга Голубицкого и Шаффера [1985] и грядущий
выпуск второго тома (Голубицкий и Стюарт [1987]), в которых содержится
полное изложение теории бифуркаций с точек зрения теории сингулярностей и
теории групп, хотя основное внимание уделяется исследованию положений
равновесия и устойчивого периодического поведения систем.
В последние годы по тематике динамических систем состоялись несколько
национальных и международных конференций. Отметим сборники докладов трех
таких конференций (Лес Хоучес 1981, Лос Аламос 1982 и Ситджес 1982) под
редакциями Кэмпбела и Роуза [1983], Хеллема-на и др. [1983] и Гарридо
[1983]. Далее мы отметим важные открытия и продвижения в вопросах,
рассматривавшихся в главах 3-7.
Глава 3
Поскольку теория локальных, единичной коразмерности бифуркаций векторных
полей и отображений была изложена в относительно завершенном виде уже в
первом издании, то с тех пор к этой области исследований добавились всего
лишь несколько результатов. Однако в задаче вычисления аппроксимаций
рядами Тейлора центральных многообразий и нормальных
Послесловие, добавленное при втором издании
517
форм было получено одно интересное и потенциально многообещающее
продвижение. Были созданы пакеты программ, использующие языки символьных
преобразований, такие как MACSYMA и SMP. Эти программы позволяют
производить вычисления, которые совершенно невозможно выполнить вручную.
Введение в применения MACSYMA в общем контексте прикладной математики с
уклоном в теорию возмущений см. в Ранд [1984].
Глава 4
После первого издания этой книги метод Мельникова использовался для
изучения гомоклинических бифуркаций в нескольких системах на плоскости и
пространствах более высоких размерностей. См., например, Робинсон [1983,
1985], Салам и Састри [1985], Копелл и Вошбурн [1982], Сандерс и Кушман
[1984а], Койллер [1984] и Холмс [1986].
Также появились несколько интересных технических продвижений: Шектер
[1985а,Ь] исследовал вырожденную ситуацию гомоклинических орбит к точке
бифуркации типа седло (см. рисунки 2.1.3 (в т. S), и 3.4.5 сверху) как в
чисто плоской ситуации так и при наличии периодической вынуждающей силы,
а Груендлер [1985] и Виггинс и Холмс [1985а,Ь,с] обобщили методы
Мельникова на негамильтоновы системы с фазовыми пространствами
размерностей ^ 3. Робинсон [1985] содержит изящное изложение,
показывающее, как связаны между собой различные функции Мельникова,
возникающие в различных ситуациях.
Глава 5
С момента первоначальной публикации этой статьи основные исследования
связаны с задачей вычисления размерностей. Появились, вероятно, более 100
работ, в которых с использованием различных алгоритмов вычислялись
емкость, "информационная размерность", "корреляционная размерность" и т.
д. К сожалению в этой области существуют всего лишь несколько строгих
математических результатов. Поэтому мы полагаем, что подробное изложение
