Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
• задач, связанных с бифуркацией.
Для дальнейшего изучения этих вопросов читатель может изучить
существующие курсы лекций, учебники, обзорные статьи и публикации
докладов научных конференций. Серия докладов, сделанных на крупнейших
конференциях, позволяет увидеть превосходную картину эволюции этого
направления:
Беркли 1968 - Черн и Смейл [1970]
Варвик 1969 - Чиллингворт [1971]
Байя 1971 - Пейксото [1973]
Варвик 1974 - Маннинг [1975]
Рио де Жанейро 1976 - Палис и де Кармо [1977]
Нортвестерн 1979 - Нитеки и Робинсон [1980]
Варвик 1980 - Ранд и Янг [1981]
Рио де Жанейро 1981 - в печати
514
Приложение. Предложения для дальнейшеео чтения
В дополнение к обзору Смейла см. также Роббин [1972], Боуен [1978] и
Франкс [1982]. См. также курсы лекций и учебники для этой области
исследований: Нитеки [1971], Боуен [1975], Шуб [1978], Ирвин [1980],
Ньюхаус [1980], Кушниренко и др. [1981] и Палис и де Мело [1981].
Существует несколько близких точек зрения на динамические системы,
развивавшихся параллельно внутри школы Смейла. Работы Хейла и его
сотрудников были основаны на инвариантных многообразиях и при
бифуркационном анализе использовались альтернативные методы. В работе Чоу
и Хейл [1982] представлено систематическое изложение этих исследований с
обсуждением бифуркаций коразмерности два. Саттингер [1973], Иоосс [1979]
и Иоосс и Джозеф [1981] рассматривали теорию бифуркаций с близкой точки
зрения, и эти подходы являются более аналитическими, чем геометрический
подход представленный в этой книге. Арнольд [1982] и Корнфилд и др.
[1982] являются примерами обширного вклада советских математиков в теорию
динамических систем, и некоторые из этих работ предшествовали работам
школы Смейла.
Книга Корнфилд и др. [1982] представляет вероятностный подход к изучению
динамических систем, восходящий к работам Колмогорова. Работа Синая,
Руэля и Боуэна по статистической механике систем Аносова является одним
их примеров этой точки зрения. Важные недавние исследования Песина
[1977], Руэля [1979] и Катока [1980] с использованием методов, основанных
на эргодической теории, включают теоремы о существовании инвариантных
многообразий для общих систем.
Традиционное изучение динамических систем связано с гамильтоновыми
системами. Книги Арнольда [1978] и Абрахама и Марсдена [1978] содержат
современное математическое изложение этой теории. Монографии Арнольда и
Авеца [1968] и Мозера [1973] и книга Лихтенберга и Либермана [1982]
уделяют большее внимание проблемам хаотического движения в Гамильтоновых
системах. Также отметим, что важная книга Биркгофа [1927] недавно была
переиздана.
Заимствование с 1975 года из статистической физики методов ренормализации
и масштабирования привнесло новую перспективу в изучение динамических
систем и теорию бифуркаций. Это направление исследований быстро
развивается и пока еще не пришло к единому изложению. Отметим несколько
важных работ: Фейгенбаум [1978], Коллет и др. [1980], Кампанино и Эпстейн
[1981], Ланфорд [1982], Фейгенбаум и др. [1982] и Ранд и др. [1982].
Многие бифуркационные задачи возникают в контексте теории
дифференциальных уравнений в частных производных и физических систем с
бесконечным числом степеней свободы. В этой ситуации при попытке
применить результаты, полученные для обыкновенных дифференциальных
уравнений, сложности функционального анализа выходят на передний план.
Приложение. Предложения для дальнейшеео чтения
515
Введение в эти вопросы см. в работе Марсдена и Маккракена [1976], и более
поздний обзор см. в Марсден [1981]. Большая часть этих исследований в
области дифференциальных уравнений в частных производных связана с
изучением положений равновесия и их устойчивости, в то время как другие
динамические свойства остаются за кадром. Голубитский и Шеффер проводят
исследования в рамках новой программой изучения этих задач с
использованием методов теории сингулярностей. Их книга Голубицкий и
Шеффер [1985] служит введением в эту область исследований. В Томпсон и
Хант [1973] исследуются проблемы упругой потери устойчивости с инженерной
точки зрения, в то время как в Антман [1984] приводится элегантное
математическое изложение как классических так и современных задач теории
балок и пластин. Тесно связана с этой работой о бифуркации положений
равновесия теория катастроф Тома (Том [1975], Зиман [1977], Постон и
Стюарт [1978]).
В этой книге мы решили проиллюстрировать применение методов теории
динамических систем к конкретным задачам нелинейных колебаний.
Значительная часть исследований в этой области рассматривается в
инженерно-технической литературе, хотя, за исключением работ Андронова и
соавторов [1966, 1971, 1973], эти исследования проводились изолированно
от математических исследований, описанных выше. Учебник Нейфеха и Моока
[1979] содержит обширный список современных работ в области нелинейных
колебаний с инженерной точки зрения, но с сильным уклоном в сторону
