Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гукенхеймер Дж. -> "Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей" -> 172

Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.

Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 560 c.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка): nelineyniekolebaniya2002.djvu
Предыдущая << 1 .. 166 167 168 169 170 171 < 172 > 173 174 175 176 177 178 .. 199 >> Следующая

(7.5.16)
Эта матрица имеет ранг, равный пяти, а ее ядро является линейной
оболочкой вектора (1, Ь, с, d, О, 0). В соответствии с этим мы можем
предположить, что в (7.5.13) все коэффициенты, кроме одного, равны нулю,
Возьмем e = f = g = h= j = Ои изучим влияние возмущения (0, fcrf) на 3-
струю (7.5.2).
Добавляя данный член пятой степени в исходное уравнение (7.5.2), где d =
- 1, и воспользовавшись преобразованием
П = л/еи, r2 = \fev, щ = ev\, д2 = -р + ?2v2 (7.5.17)
0 0 0 0 1 о-
2 Ъ 2с-2 -26 0 6 1
0 2d 0 -26 0 6
-2с 0 2 0 с 0
0 -2с 26 - 2d 2с d с
0 0 0 0 0 d.
с одновременным масштабированием времени t -> et, получим
й = и(и1 + и2 + bv2),
'с - 1
V = V
(v\ j-) + си2 - V2^j + ev(v2 + kv4).
(7.5.18)
Мы вновь сталкиваемся с изучением малых возмущений интегрируемой системы.
Умножая уравнения (7.5.18) на интегрирующий множитель ua~lv@~1, получим
"эквивалентную" возмущенную гамильтонову си-
498
Глава 7
стему
u = uav$ 1(и1 + иг + bv2),
ibP
с -I
си
,6 + 1
Можно проверить, что функция
F(u, v) = 4m"w'3 Р
+ s{u2 + kv4)
I+62
1---v
1 - с
(7.5.19)
(7.5.20)
является гамильтонианом для системы (7.5.19) при е = 0, если
А = -1 - Ьс,
" = 21+1, )3=2<1 + '>
А
А
как и прежде. При изучении случая Via можно без ограничения общности
считать, что г+ = -1.
Вновь воспользуемся теорией Мельникова1 из разделов 4.5-4.6 для анализа
зависимости периодических орбит от параметра v2 и коэффициента К.
Обозначая замкнутую линию уровня F(u,v) = К как Тк, вычислим нули функции
JJ /Зг+ + (/3 + A)kv4]ua~1vl3~1 du dv (7.5.21)
int Г к
для нахождения значений V2, при которых имеют место периодические ор-
биты. Если функция (7.5.21) имеет простой нуль (как функция от К), то
V2 =
{/3 + А)к ff иа 4vP+3dudv
int Гк
/3 ff ua~1v/3~1 du dv
int Г к
(7.5.22)
является таким значением параметра, для которого вблизи Г к имеется
периодическое решение. Как и в разделе 7.4, данные интегралы в общем
случае можно лишь оценить численно, но, согласно сообщению van Gils et
al. [1985], Zholondek доказал, что формула (7.5.22) определяет v2 как
монотонную функцию от К при к f 0.
В случае, когда в (7.5.2) 6 = 3, с = -3, имеем а = j3 = 1 и система
(7.5.2) гамильтонова при ц2 = -ц\. Мы проведем для этого частного
Речь идет о теории Пуанкаре - Понтрягина. - Прим. ред. перее.
7.5. Две пары чисто мнимых собственных значений .
499
случая расчеты значении параметров, при которых имеется гомоклиническая
петля. Гамильтониан имеет вид
F(u, v) = uv[-1 + и2 + v2) (7.5.23)
(в данном случае Vi = -1). Гомоклиническая петля лежит на линии уровня F
= 0 и представляет собой границу четвертой части круга и2 + v2 = 1. Таким
образом, мы находим
jj W2 + 5kv4} du dv = J (y2 \A - и2 + k( 1 - и2)5/2) du = ^
int Го 0
Отсюда получаем условие
Ьжк 32 '
(7.5.24)
- 5fc(7r/32) иг
^2 " тт- = -f • (7-5.25)
7Г/4 О
Применяя преобразование (7.5.17), где Д2 = -ещ + ?2г22 а = -1, ? = = m/v\
= -Д1, получим приближенное выражение для бифуркационной кривой,
соответствующей гомоклинической петле, в виде
Д2 = -Д1 - уд?. (7.5.26)
На рисунке 7.5.7 показана бифуркационная диаграмма в случае к < 0.
Читатель может проверить тип устойчивости бифуркации Хопфа и
гомоклинической бифуркации по аналогии с разделом 7.4.
УПРАЖНЕНИЕ 7.5.6. Оцените интегралы (7.5.24), заменяя Го на Гк
для К 6 (^-t, 0^ при помощи эллиптических интегралов для последнего
случая
(в центре (u,v) = (гд F(u,v) = - gj. Затем постройте на плоскости
бифуркационные кривые для периодических орбит.
УПРАЖНЕНИЕ 7.5.7. Проведите для данного примера расчеты, необходимые для
определения типа устойчивости бифуркации Хопфа по аналогии с разделом
7.4. Тем самым определите частный критерий для суб- и суперкритических
бифуркаций в терминах коэффициента формы пятой степени (7.5.13) (при е =
... = j = 0).
Оставшийся случай Vila даже более сложен, чем только что рассмотренный,
так как в действительности он содержит в зависимости от коэффициентов Ь7
с три различных подслучая. Они определяют, лежит ли линия,
соответствующая бифуркации Хопфа, в первом, третьем или четвертом
500
Глава 7
Рис. 7.5.7. Завершение построения деформации случая Via (Ъ = -с = 3) при
к < 0, показывающее существование семейства притягивающих замкнутых
орбит.
квадранте. Эти три случая показаны на рисунке 7.5.8 и соответствуют
разверткам в вырожденных случаях 2е, lb и 2с соответственно. Во всех этих
случаях функция (7.5.12) инвариантна на решениях, если
M2=Mi(§Tj) (7.5.27)
(т. е. на прямой, соответствующей бифуркации Хопфа). Заметим, однако, что
в этих случаях, по крайней мере, один из индексов а, (3 отрицателен,
ввиду чего данный интеграл сингулярен в точке (г1,гг) = (0,0). Из этого
факта следует выпучивание линий уровня, согласующееся с наличием в начале
координат истока или стока.
Мы не будем обсуждать уточнение этих бифуркационных множеств и фазовых
портретов при помощи добавления членов пятого порядка. Заметим лишь, что,
аналогично разделу 7.4, замкнутые орбиты, появляющиеся в бифуркации
Предыдущая << 1 .. 166 167 168 169 170 171 < 172 > 173 174 175 176 177 178 .. 199 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed