Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гукенхеймер Дж. -> "Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей" -> 177

Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.

Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 560 c.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка): nelineyniekolebaniya2002.djvu
Предыдущая << 1 .. 171 172 173 174 175 176 < 177 > 178 179 180 181 182 183 .. 199 >> Следующая

а = -ак2а - a^RTb + a^Rsd, kz kz
О
L 7 2 L 7Г (У.
о = -iraa - kb-------- ас,
с = - 47г2с + ^-^ab, (7.6.18)
j 7 2 j i тт2а
a = -iraa - тк a -\ - ас,
с = - 47г2те + ad.
Бифуркационное множество для данного примера на плоскости (Rs,Rt) вблизи
кратной бифуркации показано на рисунках 7.3.4-5.
УПРАЖНЕНИЕ 7.6.4. Вычислите нормальную форму системы (7.6.18) для
значений (Rs, Rt), удовлетворяющих (7.6.4). (Подсказка: хотя нулевое
собственное пространство лежит в координатном пространстве (а, 6, с),
проекция функций (7.6.17) на это подпространство линейна. Для расчета
кубических членов нормальной формы необходимо определить центральное
многообразие до членов второго порядка, что приводит к результату с ~
ааЬ/8, е ~ [а/8т) ad. При подстановке этих выражений в уравнения для мод
(а, 6, с) вычисления намного упрощаются.)
УПРАЖНЕНИЕ 7.6.5. Покажите, что включение дополнительных мод при
вычислении нормальной формы для термосолевой задачи не повлияет на
уравнения для кубической нормальной формы.
Описанные выше две задачи, по-видимому, являются типичными приложениями
теории бифуркаций коразмерности два, представленной в предыдущих
разделах. Заслуживают упоминания и два следующих примера.
512
Глава 7
Одномерная система "реактор-диффузор" (см. Auchmuty, Nicolis [1975,
1976])
Xt = ВгХхх + Х2У ~(В + l)X + А,
, V 7 (7.6.19)
Yt = D2Yxx - X2Y + BX,
с граничными условиями V(0) = X (тг) = А и Y (0) = Y (тг) = В допускает
кратные бифуркации нескольких типов из устойчивого тривиального решения.
Особого упоминания здесь заслуживает кратная бифуркация с одним нулевым и
парой чисто мнимых собственных значений. Деформации этой бифуркации можно
построить, решив следующую задачу.
УПРАЖНЕНИЕ 7.6.6. Покажите, что существует область значений параметров, в
которой имеются инвариантные двумерные торы. Хотя мы не можем установить,
что эти торы переходят в трансверсальные гомоклинические траектории,
данный пример представляет систему уравнений в частных производных, для
которой можно показать существование хаотических решений с нерегулярным
пространственным поведением. Подробности, касающиеся этого примера, можно
найти в работе Guckenheimer [1981].
Второй пример возникает в классической задаче о динамической устойчивости
течения Couette жидкости между вращающимися цилиндрами. DiPrima et al.
[1982, 1983] рассмотрели случай, в котором цилиндры могут вращаться в
противоположных направлениях и в качестве параметров выступают две
скорости их вращения. На плоскости параметров существуют такие точки, в
которых две моды одновременно теряют устойчивость, причем одной из таких
точек отвечает простое нулевое и пара чисто мнимых собственных значений.
Однако в данном случае присущая физическому эксперименту Хг-симметрия
обуславливает нормальную форму вида (7.5.10). Один из двух рассмотренных
случаев описывается деформацией вида Vila (рис. 7.5.8(a)), поэтому в этой
задаче также можно ожидать наличия двумерных торов и хаотических решений.
DiPrima et al. вычислили даже члены пятого порядка, необходимые для
завершения определения плоского векторного поля в данном случае, хотя эти
расчеты пока не завершены.
Общий метод использования теории кратных бифуркаций для поиска
хаотических решений уравнений в частных производных кажется продуктивным.
Экстраполяция решений с малой амплитудой, найденных вблизи кратных
бифуркаций, приводит к вопросу о том, каковы должны быть "пути к хаосу" в
конкретных системах и как они могут меняться при изменении второстепенных
параметров. Однако к настоящему времени хаос, обнаруженный вблизи
бифуркаций коразмерности два, был мягким и, как правило, охватывал лишь
несколько пространственных мод. Дальнейшая разработка данной идеи должна
опираться на теорию бифуркаций более высокой коразмерности, ожидающую
энергичного читателя, который напишет новую главу по этому вопросу.
Желаем удачи!
Приложение Предложения для дальнейшего чтения
Мы очень тщательно подошли к выбору тем, освещаемых в этой книге. Поэтому
это приложение было добавлено в качестве дорожного знака с указателями в
направлении близких областей исследований, которые могут заинтересовать
многих читателей. В библиографии перечислены лишь те работы, на которые
есть ссылки в тексте. Обширные библиографии для динамических систем и
теории катастроф были составлены Ширайвой (Shiraiwa)
[1981] и Зиманом (Zeeman) [1981].
Наша трактовка теории динамических систем сформулирована в стиле "школы
Смейла", которая восходит к работе Смейла и его студентов во время 1960-
х. Обзорная статья Смейла [1967] содержит ясное изложение программы
развития этой обрасти исследований. Работа Смейла [1980] является
обновленной версией этой важной статьи. В контексте этих исследований
рассматривались несколько типов проблем. При грубом разделении мы
получаем три категории состоящие из:
• вопросов структурной устойчивости;
• топологических свойств систем с аксиомой А (системы Аносова); и
Предыдущая << 1 .. 171 172 173 174 175 176 < 177 > 178 179 180 181 182 183 .. 199 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed