Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
между ними. Такое совпадение двух двумерных многообразий в трехмерном
пространстве является, очевидно, исключительным, и можно ожидать их
расщепления, приводящего к трансверсальному пересечению, как показано на
рисунке 7.4.11(c). Для доказательства того, что такое расщепление и
последующая сложная динамика с подковами действительно
7.4. ЧИСТО МНИМАЯ ПАРА И ПРОСТОЕ НУЛЕВОЕ СОБСТВЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ 485
(а)
(Ь)
(с)
(d)
Рис. 7.4.11. Гомоклинические петли приводят к существованию подков: (а)
плоская петля; (Ь) инвариантная сфера для S1 -инвариантного потока; (с)
трансверсальные гетероклинические орбиты (расщепление на сфере в
разрезе); (d) аналог конструкции Шильникова.
486
Глава 7
имеют место, покажем, что если скалярное векторное поле испытывает го-
моклиническую бифуркацию, то должны существовать значения параметров, для
которых трехмерный поток, не обладающий S'1-симметрией, имеет
гомоклиническую орбиту к спиральному седлу аналогично примеру Шильникова
из раздела 6.5. Детали оставляем читателю в качестве следующего
упражнения.
УПРАЖНЕНИЕ 7.4.11. Рассмотрите типичную гомоклиническую бифуркацию,
изображенную на рис. 7.4.10, и покажите, что для возмущений полного
трехмерного потока, не обладающих S1 -симметрией, выполнены условия
теоремы Шильникова. Сформулируйте в явном виде нужные предположения о
невырожденности (см. Guckenheimer, Holmes [1981]).
Мы можем ожидать сохранения гладкого инвариантного тора при сходе с
кривой, на которой происходит гомоклиническая бифуркация, причем динамика
на этом торе по мере уменьшения числа вращения и приближения к
гомоклинической бифуркации характеризуется сложным чередованием
интервалов, на которых поток периодичен или квазипериодичен. Однако
прежде возникновения подков и хаоса, ассоциирующихся с гомоклинической
бифуркацией, такие торы теряют гладкость и разрушаются. Именно вопрос
взаимодействия данных торов с близлежащими периодическими движениями и их
"взрыва" остается пока невыясненным, некоторые конкретные примеры
рассмотрены в работах Aronson и др. [1982], Rand и др. [1982], Feigenbaum
и др. [1982] и Greenspan, Holmes [1983]. В плоской системе дополнительные
сложности возникают при наличии бифуркаций периодических орбит типа
"седло-узел". Этот случай систематически изучен в Chenciner [1982].
Заметим, что из факта существования трансверсальных гомоклинических орбит
и подков для значений параметров вблизи кривых, соответствующих
гомоклиническим бифуркациям в плоской системе, и их отсутствия вдали от
таких кривых следует необходимость возникновения гомоклинических касаний
при изменении параметров. В свою очередь, отсюда следует наличие явлений,
обсужденных в разделах 6.6-6.7 - диких гиперболических множеств и стоков
Newhouse. Ввиду этого возможность построения полной устойчивой деформации
общей трехмерной задачи в виде некоторого двух параметрического семейства
сомнительна.
Подведем итог: мы обнаружили, что взаимодействие бифуркаций "седло-узел"
и Хопфа, рассматриваемое в рамках сужения трехмерного потока на некоторое
центральное многообразие, может приводить к неожиданно сложным вторичным
бифуркациям, включающим двоякопериодические потоки, трансверсальные
гомоклинические орбиты и подковы. Такие глобальные явления естественным
образом возникают при изучении локальных бифуркаций коразмерности два и
обнаруживаются при тщательном анализе плоского векторного поля.
7.5. Две пары чисто мнимых собственных значений .
487
Некоторые очевидные модификации этого примера связаны с существованием
для всех значений параметров "тривиальной" неподвижной точки z = 0. Тогда
седло - узел превращается в транскритическую бифуркацию, а 2-струя
принимает вид
Другая возможность возникает при наличии ^-симметрии в направлении оси г:
седло-узел превращается в бифуркацию типа "вилка", а k-струя начинается с
однородных членов третьего порядка. По существу, такой случай сводится к
проблеме, рассматриваемой в следующем разделе, и мы обсудим его позднее
(см. loss, Langford [1980]). Первый из случаев был рассмотрен в работе
Langford [1979] без включения кубических членов, при этом было показано
существование инвариантных торов без определения их количества или
устойчивости. Мы предлагаем этот случай читателю в качестве
заключительного упражнения.
Упражнение 7.4.12. Изучите деформацию
и классифицируйте возможные случаи, добавляя при необходимости члены
старшего порядка.
7.5. Две пары чисто мнимых собственных значений в отсутствие резонанса1
В данном разделе мы рассмотрим четырехмерный поток, обладающий положением
равновесия с двумя парами чисто мнимых собственных значений. Будем
предполагать, что отсутствуют резонансы до четвертого порядка
включительно (т. е. тш\ + пш2 Ф 0 при |ш| + |п| ^ 4, так что нормальная
форма 3-струи имеет вид (Takens [1974а])
г = ц\г + arz,
1 2 2
Z = H2Z ±г - Z .
(7.4.42)
г = Цдг + arz,
,2 2
z = /J-2Z ±г - Z
(в = ш + 0(2))
П = пт + ацг\ + а\2Г\г\ + 0(Н5), Г2 = Ц2Г2 + a2ir\r2 + <222^2 + 0(|г|5),
