Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гукенхеймер Дж. -> "Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей" -> 166

Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.

Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 560 c.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка): nelineyniekolebaniya2002.djvu
Предыдущая << 1 .. 160 161 162 163 164 165 < 166 > 167 168 169 170 171 172 .. 199 >> Следующая

гиперболической замкнутой орбитой для S'1-симметричной усеченной системы,
так как величина в = со + 0(r2, z2) положительна для малых г, \z\. Более
того, поскольку такое предельное множество гиперболично, оно сохраняется
при малых возмущениях, таких как добавление членов старших порядков и
членов, не обладающих S'1-симметрией, точно так же, как сохраняются
гиперболические неподвижные точки на оси г (хотя они могут сойти с этой
оси при несимметричных возмущениях). На рисунке 7.4.7 изображены
'Здесь 0(3) означает члены, степени не ниже 3. - Прим. ред. перев.
7.4. ЧИСТО МНИМАЯ ПАРА И ПРОСТОЕ НУЛЕВОЕ СОБСТВЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ 477
Рис. 7.4.8. Бифуркация Хопфа для трехмерного потока, случай I (сравните с
рис. 7.4.2).
трехмерные фазовые портреты и соответствующие отображения Пуанкаре для
двух структурно устойчивых деформаций.
Мы можем также сделать вывод, что "невырожденные" бифуркации
коразмерности один, имеющие место в случаях I и IVa, Ь, естественным
образом переходят в "невырожденные" бифуркации коразмерности один для
полного трехмерного потока, в общих чертах подобно тому, как результаты
усреднения вынужденных колебаний переходят на отображение Пуанкаре (см.
разделы 4.1-4.3). В частности, бифуркации "седло - узел", происходящие
при Ц2 = 0, остаются "седло-узлами", однако симметричная бифуркация
"вилка" на кривой /Л2 = /л2/а2 соответствует бифуркации Хопфа для
трехмерного потока (см. рисунок 7.4.8).
Таким образом, в случаях I и IVa, b наложение бифуркаций Хопфа и "седло-
узел" в дважды вырожденной неподвижной точке с собственными значениями
(±гш, 0) не приводит к неожиданностям: мы просто получаем до двух
неподвижных точек и одной замкнутой орбиты, как в индивидуальных
бифуркациях коразмерности один. Теперь деформация в данных случаях по
существу завершена, и мы не будем рассматривать их в дальнейшем.
Два других случая Ila, b и III значительно тоньше, так как в них плоское
векторное поле может обладать замкнутыми орбитами. Прежде чем рассмотреть
следствия из присутствия таких орбит для трехмерного потока, изучим
эффект от добавления членов старшего (третьего) порядка в плоской системе
и покажем, как они в типичной ситуации определяют тип бифуркации Хопфа, а
также число замкнутых орбит, которые могут появиться. Начнем с возврата
отброшенных кубических членов в систему (7.4.9):
г = ui г + arz + (сг3 + drz2),
0 0,0* (7.4.24)
z = Ц2 + Ьг - z + (er z + fz ).
478
Глава 7
Поскольку линейная часть системы (7.4.24) равна нулю при pi = Р2 = = 0,
то теорема 3.3.1 о нормальной форме не содержит информации о том, как
устранить из (7.4.24) нелинейные члены старшего порядка при помощи замен
координат. Тем не менее, упоминаемые в этой теореме замены переменных,
отличающиеся от тождественных членами старших порядков, а также
репараметризация векторного поля могут использоваться для изменения в
(7.4.24) коэффициентов в кубических членах. Мы проделаем это наиболее
общим образом, учитывая симметрию системы (7.4.24) следующим образом.
Вначале введем новые координаты
s = r(l +gz),
w = z + hr2 + iz2, (7.4.25)
т = (1 +jz)~1t и подставим их в систему (7.4.24):
= pi s + asw + (с + Ъд - ah)s3 + (d - д - ai + aj)sw2+
+ RS{siW1fl Ьр2),
(7.4.26)
^ = Р2 + bs2 - w2 + (е - 2Ъд + 2(а + 1 )h + 2bi + bj)s2w+
dr
+ (/ -j)w3 + Rw{s,W,H!,p2)-
Отброшенные члены имеют порядок не ниже четвертого по s, w, за
исключением нескольких членов третьего порядка, делящихся на р^.
Игнорируя эти члены старшего порядка, выберем коэффициенты д, h, i, j
так, чтобы максимально упростить уравнения (7.4.26). "Новые" коэффициенты
при кубических членах, получаемые в результате замены координат, линейно
выражаются через д, h, i, j при помощи матрицы
ъ -а 0 0
-1 0 -а а
-26 2а + 2 26 6
0 0 0 -1
М= ОЬ : 9 о/, Ь ; (7-4.27)
т. е. если вектор v имеет координаты (д. It. г, j), то вектор Mv имеет
компоненты ({Ъд - ah), . .., -j), добавленные соответственно к членам s3,
sw2, s2w и w уравнений (7.4.26). Данная матрица имеет ранг три, а ее ядро
порождается вектором (а, Ь, -1,0). Следовательно, мы можем выбрать (д, h,
i, j) таким образом, что система (7.4.26) будет иметь единственный
ненулевой коэффициент. Поэтому далее в данном разделе мы будем считать,
что в (7.4.24) с = d = е = 0, и рассматривать кубическое возмущение (0,
fz3).
7.4. ЧИСТО МНИМАЯ ПАРА И ПРОСТОЕ НУЛЕВОЕ СОБСТВЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ 479
2 ",2 , ",3 (7-4-29)
Дальнейший анализ аналогичен случаю двойного нулевого собственного
значения из раздела 7.3, где при помощи "раздувания" было показано, что
вырожденное положение равновесия (г, z) = (0,0), имеющее место при /ii =
Ц2 = 0, содержит "в зародыше" гомоклинические орбиты. Для этого мы
выберем масштабированные переменные таким образом, чтобы периодические
орбиты (7.4.19) (а также (7.4.22)) сохраняли свой размер при /ri, fi2 ->
0 вдоль лучей. Положим
г = еи, z = sv, fj, 1 = e2v\, р.2 = (7.4.28)
и сделаем замену независимой переменной t -> et, при этом система
Предыдущая << 1 .. 160 161 162 163 164 165 < 166 > 167 168 169 170 171 172 .. 199 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed