Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
собственных значений в этих точках равна
где надо, в силу (7.4.39), подставить = - 3//4 (см. упражнение 6.1.4).
Таким образом, гомоклиническая орбита устойчива, если / < 0, и
неустойчива, если / > 0.
УПРАЖНЕНИЕ 7.4.7. Вычислите интегралы (7.4.36) для К 6 (0,2/3) как полные
эллиптические интегралы. Покажите, что они определяют щ как монотонную
функцию от К (полезной может оказаться статья Byrd, Friedman [1971]).
Упражнение 7.4.8. Продифференцируйте (7.4.36) по К, получите dv\/dK и
покажите, что эта функция не имеет нулей. (Подсказка: поскольку интегралы
от полных дифференциалов равны нулю, данные интегралы можно упростить,
см. Sanders, Cushman [1984а, b].)
Далее рассмотрим влияние на бифуркацию Хопфа кубических членов. При
наличии единственного кубического члена в (7.4.29) бифуркация Хопфа по-
прежнему происходит на оси /у = 0. Устойчивость этой бифуркации
(7.4.40)
(7.4.41)
7.4. ЧИСТО МНИМАЯ ПАРА И ПРОСТОЕ НУЛЕВОЕ СОБСТВЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ 483
легко определить, вычислив, что дивергенция правой части этого уравнения
равна 3efz2 (напомним, что в этом анализе а = 2). Следовательно, точка
бифуркации Хопфа является слабым аттрактором при / < 0 и слабым
репеллером при / > 0.
Из результатов этих расчетов и упражнений 7.4.7-8 следует, что если / < 0
(соответственно, / > 0), то существует единственный притягивающий
(соответственно, отталкивающий) предельный цикл для системы (7.4.29) для
каждой пары значений параметров /i\, /Jo из сектора, ограниченного
линиями ц\ = 0 и /1\ = - 3//U2/4 + 0{е), см. рисунок 7.4.10.
Рис. 7.4.10. Завершение построения бифуркационной диаграммы для случая
III при / < 0.
Упражнение 7.4.9. Пусть X - плоское векторное поле вида ./ + д, где / -
гамильтонова часть. Допустим, что (а) / имеет в нуле равновесие с чисто
мнимыми собственными значениями, (Ь) д(0) = 0 и (с) дивергенция д имеет в
начале координат невырожденный максимум, равный нулю. Покажите, что
коэффициент Хопфа в нормальной форме для X в точке 0 отрицателен.
Прежде чем продолжить рассмотрение следствий для трехмерного потока,
заметим, что, так как семейство периодических орбит в случае Па,Ь
становится при К -> 0 неограниченным, вычисления возмущений, подобные
приведенным выше, не дают полной информации. Например, в то время как
бифуркацию Хопфа можно "стабилизировать" за счет добавления членов более
высокого порядка, так что малые замкнутые орбиты, появляющиеся вблизи
этой бифуркации при изменении /л\, /12, будут притягивающими
484
Глава 7
или отталкивающими, эти орбиты могут затем неограниченно расти и,
следовательно, покидать любую фиксированную (малую) окрестность начала
координат. Мы не можем предсказать судьбу таких орбит из расчета
возмущений, которые справедливы лишь локально.
УПРАЖНЕНИЕ 7.4.10. Исследуйте бифуркации в случае Па, Ь, где а = -2. (В
этом случае интеграл принимает вид Fiu, v) = (1/и)(1 + и2 + г2).)
В заключение данного раздела рассмотрим, к каким последствиям для
трехмерного потока приводят найденные выше периодические орбиты и
гомоклинические петли. Заметим, что если плоская система имеет
гиперболическую (притягивающую или отталкивающую) замкнутую орбиту, то
соответствующий трехмерный поток имеет гиперболический инвариантный тор с
тем же типом устойчивости. Это следует из того факта, что отображение
Пуанкаре для усеченной S'1-симметричной системы имеет гладкую
гиперболическую инвариантную кривую, сохраняющуюся при малых возмущениях.
Данный анализ требует некоторой тонкости, поскольку гиперболичность
данной инвариантной кривой определяется величиной малых параметров Ц2, т.
е. относительно слаба. Тем не менее, возмущения от членов старших
порядков все-таки меньше (loss, Langford [1980]).
Заметим, что итоговый двухпериодический поток на торе имеет одну
"быструю" частоту (и uf), соответствующую быстрой переменной в, и одну
медленную частоту (и ^/2ац2, см. (7.4.18)), соответствующую вторичной
бифуркации Хопфа для плоской системы. Следовательно, можно ожидать
увидеть быстрые колебания с медленной модуляцией. Отметим, что если имеет
место случай, показанный на рисунке 7.4.10, то следует ожидать замедления
роста медленных модуляций "после" бифуркации, так как период вторичных
колебаний в данной гомоклинической бифуркации неограниченно возрастает.
Некоторые экспериментальные измерения конвекции в ртути, помещенной в
магнитное поле (существенно двухпараметрическая проблема), выполненные в
Libchaber et al. [1983], показывают в точности такое поведение. Более
того, при возрастании периода медленных модуляций Libchaber наблюдал
рождение хаотических колебаний, чего следует ожидать, как мы теперь
покажем, при возмущении гомоклинической петли.
Рассмотрим S'1-симметричный трехмерный поток, соответствующий
гомоклинической бифуркации, см. рисунок 7.4.11 (а, Ь). Гомоклиническая
петля переходит в инвариантную сферу, заполненную гетероклинически-ми
орбитами, соединяющими два седла, дополненную отрезком оси z, лежащим
