Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
Мы оставляем подробности читателю.
УПРАЖНЕНИЕ 7.4.2. Проверьте правильность топологической классификации на
рисунке 7.4.1. (Подсказка: при проверке правильности замкнутых фазовых
кривых на рис. Па, ПЬ используйте симметрию векторного поля по отношению
к отражению относительно оси г или рассмотрите приведенные ниже интегралы
(7.4.18), (7.4.19).)
468
Глава 7
Пытаясь построить универсальную деформацию для нормальной формы (7.4.2),
вначале добавим двухпараметрическую линейную часть
ИгУ , (7-4.8)
. 7*2 .
которая описывает все возможные устойчивые возмущения неподвижных точек,
включая их устранение. В терминах приведенной плоской системы (7.4.5)
имеем
г = /ii г + arz,
Z = /12+ Ъг2 - г2.
Несложно найти неподвижные точки системы (7.4.9):
(г, Z) = (0, ±л/Т*2) при 112 > о
(7.4.9)
(Г, Z) = (у _ ^2) при ^2 ^ а2^ ъ = +1.
(г, z) = (^ц2 - приц2 < а2ц2, ь = -1.
Заметим, что линеаризованная система имеет матрицу
/ii + az ar 2 br -2 z
(7.4.10)
(7.4.11)
Теперь приведем некоторые подробности анализа случаев I и Ila-IIb,
оставляя вывод оставшихся результатов, приведенных ниже, читателю. В
случае I положим b = +1, а = 0. Матрица (7.4.11) в неподвижных точках (г,
г) = (0, гЬ^/Дг) будет диагональной вида
7*1 + **^/7*2 0
0 Т2^/Д2_
и, как легко видеть, при /12 > 0 эти точки имеют следующий тип:
(7.4.12)
(г, z) (0, +v^) 1 ^ 1 сГ
(11 > a^/jl2 седло исток
ал/М2 > Mi > ~ал/М2 седло седло
-a^Jji2 > (i\ сток седло
7.4. ЧИСТО МНИМАЯ ПАРА И ПРОСТОЕ НУЛЕВОЕ СОБСТВЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ 469
Можно проверить, что при пересечении прямой /х2 = 0 для //, / О в
одномерном центральном многообразии, представляющем собой прямую г = 0,
происходят бифуркации "седло-узел". Аналогично, при пересечении линии Ц2
= Hi/а2 в процессе убывания /12 при Д 0 происходят симметричные
бифуркации типа "вилка" в неподвижных точках (г, z) = (0, -Ьл/Дг) (а*1 <
0) и (г, г) = (0, -д/Дг) (/Ч > 0) (нас интересуют лишь равновесия, для
которых г > 0). Чтобы показать это, зафиксируем ф 0 и положим ^/ДД =
|/ч|/п - ?. Заметим, что возрастание е соответствует трансверсальному
пересечению кривой /12 = yrf /а.2, причем Ц2 убывает. Рассмотрим случай
/ij > 0 и соответствующую бифуркацию в точке (г, z) = (0, - л/Дг).
Сначала при помощи замены г = = ~\[Й2 + С перенесем вырожденную
неподвижную точку в начало координат, тогда (7.4.9) примет вид
Теперь применим методы центрального многообразия, изложенные в главе 3.
Заметим, что аппроксимация касательным пространством h = 0 к центральному
многообразию ( = h(r,e) не несет информации об устойчивости, поэтому мы
положим ( = от + /Зге + 7е2, что позволит определить для малых е ведущие
коэффициенты
г = ear + аг(,
(7.4.13)
или для надстроенной системы
г = ear + аг(, ё = 0,
(7.4.14)
2 (от2 + /Зге + 7?2) + г2 = 0(г3)
или
а = -
(7.4.15)
Подставляя ( = -5г2 в первое из уравнений (7.4.13), получим
редуцированную систему
г = ear - абг3 + ..., (7.4.16)
470
Глава 7
показывающую, что супер критическая бифуркация "вилка" происходит при
прохождении е через нуль в положительном направлении. Так как /ii|/а > 0,
в этом случае центральное многообразие отталкивает близлежащие решения, и
мы получаем портреты, показанные на рисунке 7.4.2.
Рис. 7.4.2. Бифуркация "вилка" при дг = Ц?/а2, /л > 0.
Заметим, наконец, что матрица (7.4.11) в неподвижной точке (г, г) =
Следовательно, эта точка является седлом для всех /i2 < /if/а2. Кроме
того, из факта, что точка является седлом и имеет индекс Пуанкаре -1,
следует отсутствие в данном случае периодических орбит векторного поля,
так как любая такая орбита должна содержать неподвижные точки с суммарным
индексом +1 (см. раздел 1.8). Ясно, что периодическая орбита не может
пересекать инвариантную ось г, а других неподвижных точек для г Ф 0 не
существует, поэтому периодических орбит нет.
Теперь мы в состоянии привести для плоского векторного поля в случае I
полную деформацию. На рисунке 7.4.3 показано бифуркационное множество на
плоскости (/ii, /i2) и соответствующие фазовые портреты.
УПРАЖНЕНИЕ 7.4.3. Выполните дополнительные расчеты, которые считаете
необходимыми, чтобы убедиться в правильности фазовых портретов,
показанных на рисунке 7.4.3.
Перейдем теперь к случаям Ila, lib, где b = +1, а < 0. Вычисления,
аналогичные приведенным выше, показывают, что неподвижные точки (г, г) =
(0, имеют при Д2 > 0 указанный ниже характер. Кро-
ме того, бифуркации типов "седло-узел" и "вилка" происходят на кривых /i2
= /if/а2 и Ц2 = 0 подобно предыдущему случаю.
/i2</i,2/a2 (г>0) fx2=fx\/a (г=0) /i2>/i2/a2 (г<0)
(yVf/я2 - /*2> -/И/а) при b = +1 такова:
0 vVf - а2И2
0
(7.4.17)
7.4. ЧИСТО МНИМАЯ ПАРА И ПРОСТОЕ НУЛЕВОЕ СОБСТВЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ 471
Рис. 7.4.3. Деформация для случая 1, b - +1, о > 0. Бифуркационное
множество и фазовые портреты. Отметим, что на кривой ji2 = Mi/а2 фазовый
портрет является гомеоморфным портрету над Ц2 = м2/о2, но седло снизу
вырождено, если /ii > 0, а седло сверху вырождено, если < 0 (сравните с
