Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
имеющей след, равный
- 1) + /т2(6 - d)\, (7.5.5)
и определитель, равный
^[{Ъц2 -dfii)(cfn -д2)].
(7.5.6)
7.5. Две пары чисто мнимых собственных значений .
491
Учитывая условия (7.5.3) существования данной неподвижной точки, получим,
что бифуркации Хопфа могут иметь место лишь на прямой
_ /л >7(1 - с)
И2 ъ _ d , (7.5.7)
где
A = d-bc> 0. (7.5.8)
Отсюда сразу следует, что в случаях lb, IVb, V, VIb , Vllb и VIII
бифуркация Хопфа невозможна. Нетрудно также показать, что такая
бифуркация невозможна в случаях la, II, III и IVa, так как для ее
осуществления необходимо, чтобы угловой коэффициент прямой (7.5.7) d( 1 -
с)/{Ъ - d) лежал в промежутке между угловыми коэффициентами прямых,
соответствующих "вилкам":
d^~[ ^ q.
Д2 - с/л, Ц2 = -(7-5.9)
в подходящем секторе плоскости (/л, дэ)- Как показывают несложные
расчеты, в каждом из вышеупомянутых четырех случаев данное требование
противоречит условию А > 0.
Мы рассмотрим далее некоторые из этих деформаций, оставляя вычислительные
подробности и остальные случаи читателю. Поскольку расчеты, необходимые
для проверки этих бифуркационных множеств и фазовых портретов
относительно просты, но утомительны, мы просто представляем результаты на
рисунках 7.5.2-7.5.4. Как обычно, мы не делаем различия между узлами и
фокусами. В конце приведены случаи Via и Vila, в которых бифуркация Хопфа
может иметь место. Как и в предыдущем разделе, мы приведем в заключение
краткое обсуждение следствий из этих результатов для развертки
четырехмерного потока (7.5.1), а также для трехмерного потока в Z2-
симметричной проблеме пары чисто мнимых и простого нулевого корня
Г = djr3 + Cl2rz2,
в = си + 0(\r,z\2), (7.5.10)
z = bir2z + b2z3, упомянутой в конце предыдущего раздела.
УПРАЖНЕНИЕ 7.5.3. При помощи методов, изложенных в главах 1 и 3,
убедитесь в правильности бифуркационных множеств и фазовых портретов,
представленных на рисунках 7.5.2-7.5.4.
Заметим, что хотя фазовые портреты некоторых из этих деформаций сводятся
при /ri, Ц2 -> 0 к одному и тому же вырожденному случаю, полные
492
Глава 7
Рис. 7.5.2. Деформации для случаев 1а и lb (сравните с вырожденными
случая-
ми 1а, 2а).
7.5. Две пары чисто мнимых собственных значений .
493
/С
/с
Рис. 7.5.3. Деформации для случаев IVa и IVb (сравните с вырожденными
случая-
ми 1а, 2а и 2Ь соответственно).
494
Глава 7
Случай Vila
Случай Vllb
Рис. 7.5.4. Деформации для случаев VIb и Vllb (сравните с вырожденным
случа-
ем 1с).
7.5. Две пары чисто мнимых собственных значений .
495
системы существенно различны, так как имеют в соответственных секторах
бифуркационных множеств разное число особых точек или точки с разным
типом устойчивости. Однако, поскольку инвариантные лучи для вырожденных
особенностей типа 2 не сохраняются, наши деформации не различают, к
примеру, вырожденные типы 1 а и 2а.
УПРАЖНЕНИЕ 7.5.4. Определите бифуркационные множества и фазовые портреты
для деформаций в случаях II, III, V и VIII.
Рис. 7.5.5. Частичное бифуркационное множество и фазовые портреты для
деформации в случае Via.
Рассмотрим теперь случай Via, в котором может произойти бифуркация Хопфа.
Некоторые бифуркационные множества и фазовые портреты для этого случая
представлены на рис. 7.5.5. Как и в предыдущем разделе, на линии
бифуркации Хопфа (7.5.7) система
Г\ = ri(/Lti + г\ + Ьг\)
(7.5.11)
496
Глава 7
интегрируема, а функция
F{r1,r2) = r"rf (Ц! +г\ +7Г2), (7.5.12)
где а = 2(1 - с)/А, /3 = 2(1 + Ь)/А, а 7 = (1 + 6)/(1 - с), постоянна
вдоль
def
решений. В случае Via имеем Ь > 0 > с, А = -1 - Ьс > 0, = - ц
< О,
поэтому линии уровня этой функции имеют вид, показанный на рис. 7.5.6.
г2
УПРАЖНЕНИЕ 7.5.5. Проверьте, что функция (7.5.12) постоянна на решениях
системы (7.5.11), и убедитесь в правильности рисунка 7.5.6.
Для "стабилизации" вырожденной бифуркации Хопфа и определения
топологического типа этой деформации вновь необходимо добавление членов
старших порядков. В данном случае такую роль играют однородные члены
пятого порядка:
n{er\ + fr\rl +gri), r2(hr\ + jr\r% + fcrf). (7.5.13)
За счет выбора системы координат можно добиться того, чтобы все шесть
коэффициентов е, .. ., к в (7.5.13), кроме одного, обратились в нуль. Как
и в случае одного нулевого и пары чисто мнимых собственных значений,
рассмотренном в разделе 7.4, мы выясним влияние замен переменных вида
S1 = rl(l + ^rl + rnrl),
s2 = г2{1 + nrl + orl), (7.5.14)
r = (1 +pr\ + qr^)~lt
7.5. Две пары чисто мнимых собственных значений .
497
на члены пятого порядка. Как и прежде, данные формулы имеют наиболее
общий вид среди замен третьей степени, сохраняющих соответствующую
симметрию. В итоге получаем
= S? + bsisl + (е +p)s? + (/ + 2Ы + (2с - 2)то - 2Ъп + bp + g)sfs2 +
+ (д + 2 dm - 2 bo + bq)s\S2 + 0(5),
= cSjS2 + c?S2 + {h - 2d + 2n + cp)s4s2 +
+ (j - 2 cm + (2b - 2 d)n + 2co + dp + cq)s\s\ + (k + dq)s2 + 0(5).
(7.5.15)
Члены пятого порядка вновь преобразуются по линейному закону с матрицей
