Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
Хопфа, могут стать неограниченными, ввиду чего нельзя ожидать от
локального анализа исчерпывающей информации.
Выше мы лишь наметили метод исследования, необходимого для завершения
классификации этих двумерных деформаций. Полное исследование общих
эффектов, обусловленных членами пятого порядка, было бы
7.5. Две пары чисто мнимых собственных значений .
501
М2
(Ь) (с)
Рис. 7.5.8. Три подслучая для случая Vila (сравните с вырожденными
случаями 2е, lb и 2с соответственно): (a) b > -1, с > 1; (b) b > -1, с <
1 или b < -1, с > 1; (с) Ъ < -1, с < 1.
502
Глава 7
ценным достижением, но мы должны признать, что мы сами уклоняемся от
решения этой задачи. Возможно, что подробные исследования должны
дополнительно стимулироваться обнаружением частных случаев в физических
приложениях. Одно их таких приложений (Di Prima et al. [1982, 1983])
будет упоминаться в следующем разделе.
В заключение обсудим выводы, которые можно сделать на основе полученных
результатов о полном четырехмерном потоке системы (7.5.1). Здесь имеются
два вращения Qi аз которые следует восстановить для завершения анализа.
Как легко видеть, имеется следующее соответствие:
Плоская система Четырехмерный поток
Неподвижная точка (п, г2) - (0,0) тривиальная неподвижная точка;
(74,7-2) = (ri, 0) периодическая орбита периода ~ 2tt/uji\
(ri,r2) = (0, гг) периодическая орбита периода ~ 2tt/uj2\
(74,74) = (74,74) инвариантный 2-тор с периодами к, 2т:/ш^,
03 2-7г/Ш2,
Периодическая орбита инвариантный 3-тор с периодами аз 2'к/ш-з,
аз 2тг/ш2; и 0( 1/т).
Последний (долгий) период на 3-торе ассоциируется, естественно, с
бифуркацией Хопфа в плоской системе. И вновь здесь можно ожидать наличия
тонких резонансных явлений, и четырехмерный аналог гетероклинических
орбит, подобных изображенным на рисунке 7.5.7, будет включать
трансверсальные пересечения трех- и двумерных инвариантных многообразий
для пары замкнутых орбит. Таким образом, как и в разделе 7.4, мы надеемся
найти узкий "клин" вокруг линии бифуркации Хопфа, в котором имеется
хаотическая динамика, включающая трансверсальные гомоклинические орбиты и
подковы. Кроме того, известно, что малые возмущения трехпериодических
потоков на трехмерных торах могут привести к рождению странных
аттракторов (см. Newhouse et al. [1978] и раздел 5.5), поэтому можно
ожидать, что этот случай даже сложнее рассмотренного в разделе 7.4. Мы
почти ничего не знаем о том, какие бифуркации присущи таким 3-торам или
фазовым потокам на них или как эти торы могут терять дифференцируемость и
разрушаться.
В конце этого незаконченного рассказа заметим, что построенные нами выше
плоские деформации можно применять к случаю одного нулевого и пары чисто
мнимых корней с Z2-симметрией, для которого вырожденная 3-струя имеет вид
(7.5.10). Holmes [1980d] и loss, Langford [1980] рассмотрели некоторые
аспекты этой задачи, и мы оставляем подробное установление соответствия
читателю. Приведем также список нормальных форм в некоторых сильно
резонансных случаях, в которых частоты ш\ и и>2 связаны целочисленными
соотношениями с небольшими коэффициентами. Анализ этих случаев пока
далеко не закончен, хотя некоторые частные подслучаи
7.6. Приложения к многомерным системам
503
были частично исследованы, в частности, в работах Steen, Davis [1982],
Bajaj, Sethna [1982]:
Сильный резонанс w2 = uji-
xi = -yi + Х2,
У\ = XI +У2,
Х2 = ~У2 ~ (birj + Ъ2г1)у2 + {Ъ3г\ + Ъ±Г1)Х2 ~ (С1Г4 + C2r|)j/1 +
+ (c3rj + с4г|)ац + c5[(xf - y\)x 2 + 2x-\ y-\y2] +
+ c&[2xiyiX2 -У2.{х\ -yi)} +c7[a;i(a;2 - y\) +2j/ia;2j/2] +
+ c8[2xix2y2 - yi{x\ -y\)\,
m = x2 + {b\r\ + b2rl)x2 + {b3r\ + ЪАг1)у2 + (cir? + c2rl)x1 +
+ (С3Г1 + с4г|)у! + c5[2xiyix2 - (xi - у1)У2}~
- Св[х2{х1 - yf) + 2xiy1y2\ +c7[2x1 Х2У2 - 2/1 (^2 - У2)]-
- c8[xi{xj - yl)+2угХ2У2\- (7.5.28)
Здесь слагаемые вида Cj [... ] являются добавочными резонансными членами,
а г| = х^ + у?. В терминах комплексных переменных Zi = xt + гуг имеем
ii = iz\ + z2, (7.5.29)
z.2 = iz2 + a\z\z\ + a2zfz2 + a3ziz2zi + a4z4z2z2 + a5z|zi + a6zfz2.
Сильный резонанс w2 = 2wi = 2ui:
X\ = -uyi + a(xix2 + y3y2) + b(x2yi - x3y2),
yi = U!XI + а(х\у2 - Х2У1) + b{x 1X2 + 2/12/2),
/2 2ч " ,/ ч (7.5.30)
x2 = -2ioy\ + c(x4 - 1/1) - 2d(xiyi),
У2 = 2uixi + 2c(xiyi) - d(x\ - y\).
7.6. Приложения к многомерным системам
В этом заключительном разделе мы кратко обсудим некоторые приложения
теории, развитой в данной главе, к проблемам, включающим уравнения в
частных производных и бесконечное число степеней свободы. При работе с
такими многомерными системами часто бывает затруднительно применить
методы, изложенные в данной книге, так как они обычно требуют ясного
геометрического представления о расположении траекторий в фазовом
пространстве. Однако необходимость непосредственного интегрирования
уравнений во многих случаях можно обойти в малых областях значений
параметров вблизи кратной бифуркации. "Решение" таких задач
504
Глава 7
включает значительное количество обычных алгебраических расчетов, но весь
