Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
значениями матрицы А, являющимися корнями уравнения четвертой степени
Л4 -(- ад А3 -(- агА ах А ад = 0,
где
ао = 47г4(Г - тт2)(Г - 47г2) + 64р2/9,
а1 = -тг2[(Г -тг2)(16атг4 + ^/рб) + 4(Г - 4тг2)(атг4 + Jp8)\,
о (7.6.13)
02 = (а7Г + ^/р5)( 16а7Г + \/тт6) - 7Г (5Г - 17-7Г ),
аз = 17а7г4 + 2 ^/рб.
Поскольку начало координат всегда является неподвижной точкой для
(7.6.11), а нелинейные члены в (7.6.10) имеют третий порядок, естественно
ожидать в точке х = 0 при наличии простого нулевого собственного значения
бифуркацию типа "вилка". Очевидно, что .4имеет простое нулевое
собственное значение, если ао = 0, a ау ^ 0 {j = 1, 2, 3), т. е. для
р = ^7г2 \ j (Г - 7г2)(47г2 - Г). (7.6.14)
Такие бифуркации могут произойти только для Г ? [7т2,47т2].
Кроме того, "вторичные" бифуркации могут произойти из нетривиальных
неподвижных точек, рождающихся из равновесия х = 0. Оказывается, что они
являются складками.
Упражнение 7.6.2. При помощи непосредственных вычислений найдите
множество положений равновесия системы (7.6.11) и проверьте, что
бифуркация типа "вилка" происходит на кривой (7.6.14). Покажите, что
бифуркации типа "складка" имеют место на множестве {(Г,р) | р = 97г4/8, Г
> 57г2/2}. Покажите, что точка (Г, р) = (5-7г2/2, 97г4/8) соответствует
некоторой бифуркации с простым нулевым собственным значением и
вырождением старшего порядка. Исследуйте эту бифуркацию.
Двойное нулевое собственное значение имеет место для значений а = = 0,005
и 8 = 0,1 в точке
Ро = (Г0, ро) и (2,23тг2, 1,11тг4) (7.6.15)
(при этом в (7.6.13) ао = ах = 0), и это наиболее вырожденная из
возможных бифуркаций. Имеется надежда, что при усечениях системы (7.6.8)
510
Глава 7
более высокого порядка будут обнаружены точки кратных бифуркаций,
сходящиеся к некоторому пределу. Однако расчеты собственных значений в
системах высокой размерности, так же как и доказательство сходимости,
очень сложны (см. Holmes, Marsden [1978]).
После нахождения для наших примеров точек кратных бифуркаций встает
вопрос о построении соответствующих этим бифуркациям нормальных форм. Для
этого требуется вычисление центральных многообразий и нормальных форм на
этих многообразиях до достаточно высокого порядка, так чтобы можно было
воспользоваться результатами предыдущих разделов. Такие расчеты могут
быть громоздкими и требовать значительных усилий, однако имеется
перспектива их алгоритмизации и автоматизации. Поскольку в обоих наших
примерах имеется двойное нулевое собственное значение, то можно
использовать результаты раздела 7.3.
УПРАЖНЕНИЕ 7.6.3. Покажите, что обеим обсуждаемым задачам (о термосолевой
конвекции и о панельном флаттере) присуща Хг-симметрия.
Симметрия обеих задач обуславливает отсутствие в нормальных формах
квадратичных членов вида (7.3.3). Вместо этого они содержат кубические
члены вида (7.3.22), поэтому необходимо проводить разложение по формуле
Тейлора, по крайней мере, до третьего порядка.
Для системы с двумя модами (7.6.11) непосредственные (но громоздкие)
вычисления показывают, что кубические коэффициенты нормальной формы
(7.3.22) равны приблизительно
а3 " -0,303/с7г4, &з ~ -0,043/с7г4. (7.6.16)
Эти вычисления несколько упрощаются тем, что оказывается достаточной
аппроксимация центрального многообразия касательным пространством.
Основная часть расчетов связана с приведением линейной части системы
(7.6.11) к подходящей блочно-диагональной форме (3.2.13). Подробности
можно найти в статье Holmes [1981а], в которой, однако, имеются некоторые
вычислительные ошибки.
Мы приходим к выводу, что бифуркационные диаграммы на плоскости (Г, р)
вблизи точки р0 имеют вид, представленный на рисунках 7.3.7 и 7.3.9.
Предположив, что такая точка кратной бифуркации имеет место и для полной
системы (7.6.5), Holmes, Marsden [1978] доказали, что вынужденные
колебания панели будут хаотическими (см. раздел 4.5).
Вычисления нормальной формы в термосолевой задаче в точке кратной
бифуркации можно выполнить полностью, однако такая возможность
определяется специфическими свойствами описывающих ее уравнений. В
частности, поскольку нелинейные члены уравнений (7.6.2) имеют второй
порядок, а произведение двух тригонометрических функций можно
преобразовать в сумму, то лишь конечное число мод определяет нормальную
форму
7.6. Приложения к многомерным системам
511
на центральном многообразии. В этом примере для вычисления кубических
членов в нормальной форме требуется учет пяти мод. Такой расчет в другой
форме был проведен в работе Knobloch, Proctor [1981]. Ниже приведены
разложения для ф,Т,Б:
ip = a(t) sin(7TQ:a;) sin irz,
T = b(t) cos(irax) sin irz + c(t) sin 2irz, (7.6.17)
S = d(t) c.os(natx) sin irz + e(t) sin 2irz,
причем обобщенное собственное пространство для нулевого собственного
значения лежит в трехмерной линейной оболочке мод а,Ь и d. Подставляя
данное разложение в (7.6.2) с последующей проекцией на подпространство,
натянутое на пять мод, представленных в (7.6.17), получим систему
