Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей - Гукенхеймер Дж.
ISBN 5-93972-200-8
Скачать (прямая ссылка):
текущих исследований в этой области на текущем этапе преждевременно. Тем
не менее мы приведем очень краткое описание основных методов.
Определение размерности для аттрактора, которое наиболее удобно при
численных вычислениях, это поточечная размерность меры p (Фармер и др.
[1983]). Задана мера p (предположительно инвариантная мера аттрактора А)
и точка х, рассмотрим функцию Vx(r) = р(Вх(г)) где Вх{г) - шар радиуса г
с центром в х. Если существует независящий от х предел lim (log Vx (г) /
log г) для почти всех х по мере p, тогда этот общий пре-
Т->0
дел равен поточечной размерности р. Легко построить алгоритмы, вычис-
518
Послесловие, добавленное при втором издании
ляющие численные оценки поточечной размерности асимптотической меры (см.
стр. 353). Предполагается, что точки в наблюдаемой или вычисленной
траектории системы распределены таким образом, чтобы описываться
инвариантной вероятностной мерой /т. Выбирая точку х на траектории,
получаем значение Vx(r) как оценку пропорции точек на траектории, которые
лежат в пределах расстояния г от х. Вычисляя расстояния между х и всеми
другими точками на траектории, а затем сортируя множество расстояний,
можно легко вычислить эту оценку значения Vx{r). Если в логарифмической
шкале график этой функции достаточно близок к линейному виду, то его
наклон является оценкой поточечной размерности /г.
Различные сложности, связанные с вышеописанной процедурой, обсуждаются в
Гугенхеймер [1984, 1986]. Более надежная статистика получается при выборе
нескольких "точек отсчета" х в вышеописанном вычислении и последующем
усреднении. Несколько отличающееся определение, введенное Грассбергером и
Прокаччиа [1983], часто используется при изучении экспериментальных и
численных данных. Дана "типичная" конечная траектория, определим N(r) как
пропорцию пар точек траектории, расстояние между которыми меньше г. Тогда
lim (log Nx (г) / log г) определя-
т->0
ет корреляционная размерность аттрактора содержащего траекторию. Это
определение использует всю информацию, содержащуюся в межточечных
расстояниях, но его сложнее использовать в теоретических построениях,
поскольку расстояния не являются статистически независимыми друг от
друга.
Публикуется все большее число примеров анализа экспериментальных данных,
использующих эти методы. (Впервые такие примеры были опубликованы в
Гугенхеймер и Бузайна [1983] и Брандстатер и др. [1983].) Во многих из
этих исследований метод вложения, предложенный Руэлем и проверенный
Такенсом [1981], используется для создания картины аттрактора в фазовом
пространстве с помощью единичной серии наблюдений. Идея заключается во
введении времени задержки т и использовании наблюдений x(t), x(t +
т),..., x(t + (п - 1)т) в виде гг-мерного вектора, соответствующего
времени t. Такенс [1981] и Манэ [1981] доказали, что для обычных систем,
времен задержки т и наблюдаемых величин (измеряемой функции), если п
больше удвоенной размерности аттрактора, то представление аттрактора в R"
является гомеоморфизмом.
Глава 6
Элегантные и глубокие работы Дуади [1982/3], Дуади и Хуббарда
[1982], Салливана [1984] и других по итерационным отображениям в
комплексной плоскости прояснили различные вопросы теории бифуркаций ве-
Послесловие, добавленное при втором издании
519
щественных аналитических одномерных отображений (см. параграфы 6.3 и
6.4). Девани [1985] содержит превосходное введение в теорию таких
дискретных систем, включающее как одно- и двумерные вещественные
отображения, так и итерационные функции одной комплексной переменной. См.
также Бланчард [1984].
Недавно появились несколько работ об орбитах с рациональными и
иррациональными числами вращения для отображений окружности и кольца. В
частности, открытие канторовых множеств, инвариантных по "Обри-Мазеру",
для сохраняющих площадь отображений кольца вновь оживило интерес к ранним
работам Биркгофа [1932а,Ь] и других (см. Эрман [1983]). См. Обри [1983],
Обри и ле Дерон [1983], Ченсинер [1983,1984], Мазер [1983а,Ь, 1984],
Каток [1982,1983] и Персиваль [1980]. Эти множества обладают следующим
свойством: находящиеся в них орбиты обладают теми же свойствами
упорядоченности, что и орбиты жестких вращений окружности Ra: S1 ¦ S1
(см. параграф 6.2). Способ сосуществования таких "хорошо упорядоченных"
орбит с "плохо упорядоченными" орбитами как в сохраняющих площадь, так и
в диссипативных двумерных отображениях изучался в нескольких работах,
например Холл [1983], Бойланд и Холл [1985], Касдагли [1985], ле Кальвез
[1985] и Хоккет и Холмс [1986]. Значительное количество работ также было
посвящено необратимым или "сверх-критическим" отображениям окружности,
например Ито [1981], Бернхардт
[1982], Бойланд [1983] и Ньюхаус и др. [1983]. В замечательной серии
статей Ченсинер [1982а,Ь,с, 1983а, 1985а,Ь] исследовал вырожденные
(коразмерности два) бифуркации Хопфа для двумерных диффеоморфизмов и
обнаружил структуры упорядоченных и неупорядоченных орбит аналогичные
